題 14
完大]
128 重複組合せ
かきなし,もも, びわの4種類の果物が店頭にたくさんある。 6個の果物を買
うとき、何通りの買い方があるか。 ただし, 含まれない果物があってもよいも
のとする｡
CHART
GUIDE
重複を許して作る組合せ
○と仕切りの順列と考える
SUS
4種類の果物から、6個を買うというだけで, それぞれの果物の個数に指定がない。 この
ような場合は、次のように考える。
買物かごを用意し, その中に3個の仕切り ( で表す) を入れ, 4つの部分に分ける。 その
4つの部分に,順にかき, なし,もも, びわ を計6個入れる。
このとき、果物を○で表すと、例えば
もも2|びわ 1
もも0
3
〇〇一〇一〇〇|〇 はかき2|なし1
〇一〇〇|| 〇〇〇 はかき1 | なし2
を表す。このように,果物の買い方は6個の ○ と3個の|の並べ方の総数に対応するから,
同じものを含む順列を利用して求める。
回答
例えば,かきを1個, なしを1個, ももを3個, びわを1個買
うことを6個
と3個の仕切りを用いて
19
それぞれの果物をか
で表すと,
2, 2, 1
は
COTO | 000 1 0
のように表すとする。
このように考えると, 果物の買い方の総数は, 6個の○と3
個の仕切り | を1列に並べる順列の総数に等しい。
9!
=84 (通り)
よって 求める果物の買い方の総数は 6!3!
thy Lecture 重複組合せ
異なるn個のものから重複を許して個取って作る組合せの総数は,例題の解答と同様に考えて
が (n-1) 個 〇が個あるとき,それらを1列に並べる順列
の総数に等しいから、その数は n-1+rC, である。
このような組合せを重複組合せといい、その総数を,H, で表す。
すなわち
nH₂=n+r-1Cr (r>n><& £W)
上の例題では、異なる4種類の果物から重複を許して6個の果物を取り出す組合せの総数を考え
4H6=4+6-1C6=9C6=9C3=
ているから、その総数は
9・8・7
-=84 (通り)
3･2･1
1,
な
〇一〇〇一〇
0, 3, 1, 2
1100010100
で表される。
同じものを含む順列
1
