矢印のところの式変形の仕方（思考回路）がわかりません。

12. [2020スタンダードⅠⅡAB受問題9] f(x)=x+2x3+10x²+(10-2√/2)x + 23 とする。 実数αに対して, f(x) をx+αで 割ったときの余りを求めよ。 さらに,このことを用いて f(x) を実数の範囲で因数分解 せよ。 (解説) §. =(x² + a)(x²+2x+10-a)+(10-2√2-2a)x+23-10a + a² よって, 求める余りは 2(5-√2-α)x+α²-10α+23 この余りが0になるとき 5-√2-α=0 かつ α²-10α+23 = 0 ゆえに a=5-√2 よって また, x2 +5-√2x+2x+5+√2 は実数の範囲でこれ以上因数分解できない。 x+2x+10x2+(10-2√2)x+23 f(x)=(x2+5-√2)(x2+2x+5+√2)

青色の所を引いた部分が分かりません。 なぜ余りはax＋bとおけるのでしょうか？ 51次式を二次式で割ると余りは一次式になるのですか？

[4STEP数学Ⅱ 問題132] x 51+1をx2-1で割ったときの余りを求めよ。 解答 x+1 (解説) x 51 +1をx2-1 すなわち (x+1)(x-1)で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b(a,b は定数) とすると x 51+1=(x+1)(x-1)Q(x) +ax+b ① に x= -1 を代入すると -1+1=-a+b よって - a+b=0 ① に x=1 を代入すると 1+1= a + b よって a+b=2 3 ②,③から a=1, b=1 ゆえに, 求める余りは x+1 11

下線部で、なぜ新たに商をR(x)などと置かずに、aのみで表せるのですか？ 教えてください🙏

FO CP 26 第1章 式と証明 標問 8 整式の割り算 (2) (1) 整式P(x) を (x+2) で割ると余りがx+3 であり, x+4 で割ると余 りが-3である.P(x) を (x+2)(x+4) で割ったときの余りを求めよ. (佐賀大) (2) 整式x+ax+ax+bx-6が整式 2-2x+1 で割り切れるとき α (千葉大) b の値を求めよ. ○精講 (1) P(x) を3次式で割るのですか ら、求める余りは2次以下の整式で す。 ` (2) 整式 P(x) が2次式 (x-1)^2で割り切れる ということは, P(x) が1次式 (x-1) で割り切れ, そのときの商も(x-1)で割り切れるということ です。 解法のプロセス (1) 3次式で割ったときの余り は、2次以下の整式 ↓ 余りをax+bx+c とおく (2) x-1で2回割る 解答 (1) P(x) を(x+2)(x+4) で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bx+c おくと ←余りは2次以下の整式 P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+ax+bx+c P(x) を (x+2)2で割った余りx+3 は, ax2+bx+c を (x+2) で割っ 余りでもあるから ax²+bx+c=a(x+2)2+x+3 . P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+α(x+2)2+x+3 P(x) を x+4 で割った余りは3であるから, 剰余定理より .P(-4)=-3 .. a(-2)²-4+3=-3 :: a =_ _1C 2 -x²-x+1=(x)) よって、求める余りは1/12(x+2) 2+2+3=-2123- (2) P(x)=xª+ax³+ax²+bx−6 ≥‡<. P(x) 7³ x²−2x+1=(x−1)² · り切れるためには, P(x)がx-1 で割り切れることが必要であり, P(1)=0 ∴.2a+6-5=0 b=5-2a av-evo このとき P(x)=x¹+ax³+ax²+(5-2a)x-6 2 = (x−1){x³+(a+1)x²+(2a+1)x+6} ......(*) よって,Q(x)=x2+(a+1)^²+2a+1)x+6 とおくと, P(x) が ◆P(x) は (x-1)を因数 0830

波線の部分は因数分解できますか？ 解答の解説もよろしくお願いします　

(x-2)(x+5x^²-xx-6)

【2】問題文では商がＸ2乗＋1と書いてあるのに、 【2】の解放を見たら商がＸ2乗＋1じゃないじゃですか？ これってどういことですか？

基本例題 9 整式の割り算と整式の決定 (2) x +3.x+2x²-1 を整式 B で割ると,商がx+1,余りが-3x−2である。 (1) 2.x-x-1で割ると, 商が4x+5, 余りが-2x+1 である整式Aを求めよ。 整式 B を求めよ。 ap.22 基本事項1. [2] 基本 18 針 (1) (2) ** 次の割り算の基本等式を利用する。

両辺をxで微分したとき、最後の+pのところが分かりません。

たすどう ゴル 重要 例題 194 (x-α)で割ったときの余り(微分利用) 00000 xについての整式f(x) を(x-α)で割ったときの余りを, a, f(a),f'(a) を用 いて表せ。) 指針 整式の割り算の問題では, 次の等式を利用する。 A B XQ+ R 割られる式割式 解答 f(x) を (x-a)^ で割ったときの商をQ(x) とし, 余りをpx+q とすると,次の等式が成り立つ。 0 ƒ(x)=(x−a)²Q(x)+px+q 両辺をxで微分すると = ..... 2次式(x-α)2で割ったときの余りは1次式または定数であるから f(x)=(x-a)^Q(x)+px+q [Q(x) は, , qは定数] が成り立つ。この両辺をxで微分して, 商Q(x) が関係する部分の式が =0 となるよう な値を代入すると, 余りが求められる。 - ④から よって ③ から したがって 求める余りは J65134 ƒ'(x)={(x—a)²}'Q(x)+(x−a)²Q′(x)+p (n-(6)=2(x-a) Q(x)+(x− a)²Q'(x) + p ①, ② の両辺に x = α を代入すると,それぞれ f(a)=pa+g ③, f'(a)=p p= f'(a) ...... 00- SALODA)= [ 早稲田大 ] p.303 参考事項 重要 55 050104 4 ($1.0.4-1∙CA) | ("S-QA-S-CA) {f(x)g(x)}' @ 余りの次数は、割る式の次 数より低い。 q=f(a)-pa=f(a)-af'(a)).es-S-8. CA xf'(a)+f(a)-af' (a) 305 ...... ②=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) {(ax+b)"}' (1) =n(ax+b)^-'(ax+b)' (p.303 参照。) 東京薬 (303参照) (9) ( E

(2)についてです。 αが虚数の場合、p,aが共に実数の場合p=1,q=0になるのは理解できます。 でもαは虚数ではなく複素数のように思えるのですが、この場合、両辺を比較していいのですか🤔 なにか勘違いしているのかもしれません。 わかりやすく教えてください🙇🏼‍♂️

4 整式の割り算/剰余の定理と虚数 (ア) 整式 x 2011 を x2 +1で割った余りは, (イ) x¹ ,100 をx2+x+1で割ったときの余りは 虎粉についてけ音で! / 1 となる. ]である. ( 京都薬大) (関西大・理工系)

この解き方じゃダメな理由を教えて欲しいです よろしくお願いします🙏

0000 -3x+70a を求めよ。 53 ける。 1)(x-2)で 余りを考える。 つった余りは、こ 式または定数。 かりを見つける。 下の練習50 有効である。 割ったときの すると、 2) Q(x) -2) +R(x) +al+R(x) を代入。 がらであ 電機大) 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り 000 (1)を2以上の自然数とするとき､x-1 を (x-1)" で割ったときの余りを求 【学習院大) (2) 3.x+2x7 +1をx+1で割ったときの余りを求めよ。 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 .88~90 でも学習したように､ ① 割り算の問題 等式 A-BQ+R の利用 Rの次数に注意 B=0 を考える がポイント。 (1) (2) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが、それだけでは足りない。 そこで、次の等式を利用する。 ただしnは2以上の自然数 α=1,0=1 a”—b²=(a−b)(a +a*b+a b²+ + ab + b¹) (2)x+1=0の解はx=± x=iを割り算の等式に代入して、 複素数の相等条件 A. B が実数のとき A+ Bi=0A=0.B=0 を利用。 (1)x1(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b (1) 二項定理の利用。 とすると、次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 x-1=(x-1) Q(x) +ax+b...... ① =.Ca(x-1)*+..+αCa(x-1) +Cl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^2+..+*C2) 両辺にx=1 を代入すると ① に代入して x-1=(x-1)* Q(x)+ax-a 0=a+b すなわち b=-a =(x-1){(x-1) Q(x)+α} ここで、x-1=(x-1)(x-1+x+.・.・.・+1) であるから +++1=(x-1)Q(x)+a この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=a b=-αであるから ゆえに、求める余りは nx-n (2) 3x+2x+1をx+1で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると､次の等式が成り立つ。 x+2x+1=(x+1)Q(x)+ax+b 両辺にx=i を代入すると 31¹00+21+1=ai+b it = (r)=(-1)=1, = (r) i=(-1)*i=i であるから 3-1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai すなわち a b は実数であるから したがって、求める余りは 基本 53.54 bn a=2, b=4 2x+4 ¥55 (2)x+4で割ったときの余りを求めよ。 +nxn ゆえに、余りはnx-n また、(x-α)の割り算は微 分法(第6章)を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)｡ 微分法を学習す る時期になったら、ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 以上の自然数とするとき､ x を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 Cp.94 EX39 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

(2)であまりをax+bとおく理由がわからないです 教えてくださいお願いします🙏）

→教p.52 応用例題2 109 次の問いに答えよ。 (1) 整式 P(x) をx-1で割った余りが 3, x+3で割った余りが -5 であ る。 P(x) を (x-1)(x+3) で割った余りを求めよ。 * (2) 整式 P(x) をx-2で割った余りが7, xで割った余りが-4 である。 P(x) をx-2xで割った余りを求めよ。

解き方忘れちゃって、間の計算式を書いてもらえると助かります🙇

t³-3t=2 (t+1)^(t-2)=0 = 12