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基本例題 83 チェバの定理、メネラウスの定理 (2)
右の図のように, △ABCの外部に点 0 があり、 直線AO,
BO, CO が,対辺BC, CA, AB またはその延長と, そ
れぞれ点 P, Q, R で交わる。 AB:AR=5:4,
AQ:QC=10:9のとき、 次の比を求めよ。
(1) BPPC
(2)/ BQ:Q0
指針 CHART
解答
(1) △ABCにおいて, チェバの
定理により
BP CQ.. AR
PC QA RB
すなわち
→ (2)
(1) チェバの定理は, 点Oが△ABCの外部にある場合にも成り立つ。
(2) メネラウスの定理を利用したいが,対象となる三角形や直線がわかりにくい。こ
のような場合は,比が既知の線分や比を求めたい線分にを書き込んだとき(解
で囲まれた三角形と, その三角形の各辺の3つの分点(外分点
答の図を参照),
が1個または3個) を結んだ直線に着目するとよい。
BP 9
4
PC 10 4+5
すなわち
BO 9
3頂点からの直線が1点で交わるなら チェバの定理
三角形と直線1本で
メネラウスの定理
BP
5
=
PC-12/23から BP:PC=5:2
(2) AQAB と直線RC について,
メネラウスの定理により
BO QC AR
OQ CARB
=1
BO 19
OQ
4
よって
=1
から
4
OQ9+10 4+5
= 1
=1
A
BQ :QO=15:4
15
B
B
5
BO:OQ=19:4
-10
A
A
AD
4
10
基本 82
9
Q
J0:08
練習 右の図のように, △ABCの外部に点があり、 直線
② 83 AO, BO, CO が、 対辺BC, CA
と、それぞれ上
B
P
A
R
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検討
頂→ 分 →頂で三角
形をひとまわり
メネラウスの定理では,
外分点が1個または3個
(奇数個) であるのに対
し チェバの定理で、 外
分点は0個または2個
(偶数個) である。
(2) は,QBCと直線AP
に, メネラウスの定理を用
いてもよい。
メネラウス