Question

かりん

チェバ、メネラウスの定理は、
チェバ⇒外周をまわる
メネラウス⇒画像右下にあるキツネ型
という認識だったのですが、この問題はどちらも使えず混乱しています。
どういう事なのでしょうか、、？
(１)、(2)の解説お願いします😭

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基本例題 83 チェバの定理、メネラウスの定理 (2)
右の図のように, △ABCの外部に点 0 があり、 直線AO,
BO, CO が,対辺BC, CA, AB またはその延長と, そ
れぞれ点 P, Q, R で交わる。 AB:AR=5:4,
AQ:QC=10:9のとき、 次の比を求めよ。
(1) BPPC
(2)/ BQ:Q0
指針 CHART
解答
(1) △ABCにおいて, チェバの
定理により
BP CQ.. AR
PC QA RB
すなわち
→ (2)
(1) チェバの定理は, 点Oが△ABCの外部にある場合にも成り立つ。
(2) メネラウスの定理を利用したいが,対象となる三角形や直線がわかりにくい。こ
のような場合は,比が既知の線分や比を求めたい線分にを書き込んだとき(解
で囲まれた三角形と, その三角形の各辺の3つの分点(外分点
答の図を参照),
が1個または3個) を結んだ直線に着目するとよい。
BP 9
4
PC 10 4+5
すなわち
BO 9
3頂点からの直線が1点で交わるなら チェバの定理
三角形と直線1本で
メネラウスの定理
BP
5
=
PC-12/23から BP:PC=5:2
(2) AQAB と直線RC について,
メネラウスの定理により
BO QC AR
OQ CARB
=1
BO 19
OQ
4
よって
=1
から
4
OQ9+10 4+5
= 1
=1
A
BQ :QO=15:4
15
B
B
5
BO:OQ=19:4
-10
A
A
AD
4
10
基本 82
9
Q
J0:08
練習 右の図のように, △ABCの外部に点があり、 直線
② 83 AO, BO, CO が、 対辺BC, CA
と、それぞれ上
B
P
A
R
11
検討
頂→ 分 →頂で三角
形をひとまわり
メネラウスの定理では,
外分点が1個または3個
(奇数個) であるのに対
し チェバの定理で、 外
分点は0個または2個
(偶数個) である。
(2) は,QBCと直線AP
に, メネラウスの定理を用
いてもよい。
メネラウス

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

怪盗オメガ

この問題得意にしてあげるので順番に考えて下さい。

まず理科で習った天秤は知ってますよね。

まずBRに注目します。Aにより

AB：AR = 5：4

に分けられています。

5：4の天秤でBに4の重りをつけるとRにいくつ付ければ釣り合いますか。

かりん

5個です。

怪盗オメガ

そうですよね。
次に支点になっているAにはBとR両方の重さがかかっていると考えます。つまり4+5=9。

次に
ACについて同様に考えます。

AQ：QC = 10：9

です。既にAには
上記の通り9の重さがかかっています。
Qには天秤が釣り合うように10のおもさをかけます。

ここまではわかりますよね。単純な天秤問題です。

では問題ですが

BP：PCを求める必要があります。

これまでの考えで既にBには4、Cには10の重さがかかっています。

そうするとPにはいくつの重さをかければBPは釣り合うことになりますか。

かりん

6です。

怪盗オメガ

ですね。

そうするとこの天秤は

BC：CP ＝6：4 =3：2

つまり

BP：PC= 5：2

となります。

BQ：QOも同じように出来ますか？

かりん

Bに4、Oに15の重りがかかるので15：4になります！
汚くてすみません🙏こういうことでしょうか？

怪盗オメガ

そうですよ。

したがって

BQ：QO= 15：4

になります。答えもそうなってますよね。

かりん

はい！なっています

かりん

簡単に解けて凄いです！☺️
この解き方は、チェバ、メネラウスが使えたらどの問題でも解けるのでしょうか？

怪盗オメガ

どれでもいけますよ。
ただたまに分数とかにしないといけない時もありますが。

これで得意になってもらえると嬉しいです。
時間もすごく短く解けると思います。

かりん

そうなんですね！
今まで苦手だったのですが解けそうです😭
とても勉強になりました！
ありがとうございます🙇‍♀️✨️

怪盗オメガ

もう得意分野ですね。👍

Answer 2

和

たとえばチェバは回るだけではありません
右欄の検討に書いてあるような別バージョン（というほどでもありませんが）があります

そのページの少し前にちゃんとまとめてあるページがあると思いますので、そちらを参照してください