(Aがbの倍数でないとすると,左辺の aAはbを約数にもたないこととなり), ①の等
426 第8章 整数の性質
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例 題 238
等式を満たす自然数の組
例
| 等式 4m+3n=60 を満たす自然数の組(m, n) をすべて求めよ。
a, b, A, Bを自然数,a, bが互いに素であるとすると,
aA= bB ……①
が成り立つとき, Aはbの倍数, Bはaの倍数,すなわち,
a×(bの倍数)=6×(aの倍数)
となる。
考え方」
成り立つことに矛盾する。)
ここでは,4と3が互いに素であることに着目する. すなわち,
4m+3n=60 → 4m=3(20-n)
と式変形すると, 4と3は互いに素であるから,
mは3の倍数, 20-nは4の倍数
である。
4m+3n=60より,
4と3は互いに素であるから,
mは3の倍数,20-nは4の倍数
また,m, n は自然数であるから,
解答
4m=3(20-n)
4×(3の倍数)
=3×(4の倍数)
4m>0 より,
3(20-n)>0
0<20-n<20
したがって、
(i) 20-n=4 のとき,
このとき,4m=3·4 より,
(i) 20-n=8 のとき,
このとき,4m=3·8 より,
20-n=4, 8, 12, 16
20-n<20 なので,
20 より小さい4の倍
数を考える。
n=16
m=3
n=12
m=6
() 20-n=12 のとき,
このとき,4m=3·12 より,
(iv) 20-n=16のとき,
このとき,4m=3·16 より,
よって,求める自然数の組は,
(m, n)=(3, 16), (6, 12), (9, 8), (12, 4)
n=8
m=9
n=4
少ゼ
m=12
Focus
と
aA=bB でaとbが互いに素であるとき, (a, b, A, Bは自然数)
Aは6の倍数, Bはaの倍数
