解説に書いてある(1≦k≦n)が何故そうなるのかが分かりません。教えてください。

✓ 61 次の数列の和を求めよ。 1-n, 3-(n-1), 5-(n-2), *(2) 12n, 22(n-1), 32(n-2), , (2n-3)-2, (2n-1)-1 , (n-1)-2, n.1 図] 当の品の 処宿を求め上 また 初頂から”頂までの知を求め上

解き方教えてください

この解き方教えてください! 上から答えは、 100、 3069、 2n2乗の-n -3・2分の1n乗-1+6です。 (1) 一般項4.=2-1 で表される数列の和 So は (2) 一般項,=3.2 で表される数列の和 S16 は (3) 一般項=4-3 で表される数列の和S は (4)一般項4.=3 ( 12 ) で表される数列の和 S, は である。 である。 である。 である。

(2)を2枚目のように解きたいのですが、どうすれば良いでしょうか？

446 基本 例題 24 数列の和と一般項, 部分数列 00000 +αzn-1 を求めよ。 |初項から第n項までの和 SnがSn=2n²-nとなる数列{a} について (1) 一般項 an を求めよ。 (2) 和a1+a3+as+ (1)初項から第n項までの和S” と一般項αn の関係は P.439 基本事項4 基本は ORGONE 指針 an よってan=S-S-1 n≧2のとき Sn=a+a2+....+an-1+an -)S-1=a+a2+......+an-1 Sn-Sn-1= n=1のとき a₁ =S₁ ”を求める (2)数列の和→ 和 Sm がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項α) まず一般項(第ん項)をんの式で表す 第1項 第2項 第3項, ....... 第k項 a1, a3, a2k-1 as, ., であるから, an に n=2k-1 を代入して第ん項の式を求める。 なお、数列 sasasaのように、数列{a}からいくつかの項を取り いてできる数列を, {an} の部分数列という。 00 (1) n≧2のとき an=Sn-Sm-1=(2m²-n)-{2(n-1)-(n-1)}) 815) 解答 =4n-3 ....・・ ① また a=Si=2・12-1=1_1 ここで, ① において n=1 とすると α1=4・1-3=1 よって, n=1のときにも①は成り立つ。 したがって an=4n-3 (2)(1) より,a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから n a1+as+as+…………+azn-1=Ya2k-1=2(8k-7) n d k=1 解答 =22であるから Sn-1-2(n-1)-(n-1 初項は特別扱い anはn≧1で1つの式に 表される。 la2k-1 は αn=4n-3にお いてnに2k-1 を代入。 検 検討 k=1 8.1m(n+1)-7n (=n(4n-3)( nan=S,-Sm-｣ となる場合 )n(I k,1の公式を利用。 例題 (1) のように,an=Sn-Sn-1 でn=1とした値と αが一致するのは, S の式でn=0と したとき So=0 すなわち nの多項式 S の定数項が 0 となる場合である。もし、 S=2n²-n+1(定数項が0でない) ならば, α=S=2, an=Sn-Sμ-1=4n-3 (22)とな り4n-3でn=1とした値とαが一致しない。 このとき, 最後の答えは 「a=2, n=2のときa=4n-3」 と表す。(1 練習初項から第n項までの和Sが次のように表される数列{an}について 一般項 ...... ② 24 an と和atas+a++α3n-2 をそれぞれ求めよ。 (1)Sn=3n²+5n (2) Sn=3n²+4n+? 459 EXI

どうして(-１)*ⁿ⁻¹の両辺を2ⁿ⁺¹で割るとこのようになるのでしょうか？

16 解答 ...1 an+1=2an+(-1)+1 (1) ①の両辺を2"+1でわると, an+1 an 2n+1 2n 1\n+1 ② 1①に, an=2"b +1=2+16 +1 を 代入してもよい 27=bm とおくとき, ② より bn+1=6n+1 − 1 ) (2)n≧2 のとき, bn=b₁+2 k=1 k+1 2 an+1 2n+1 1\n-1 n+1 = =bn+1 と表せるので 1-(-—-—2) - | | -( − 1 ) ) =0+1/ • 1+1/2 = これは, n=1のときも含む. |122 階差数列 119 初項 1. 公比-1/2 項数n-1の 等比数列の和 吟味を忘れずに 演習

赤いマーカーのところ、初項からn項までの和なのに黒で書いたSnの公式ではなく、シグマが出てくる理由を教えてください🙇‍♀️

10 次の数列の第k項をkの式で表せ。また,初項から第n項までの和 Sm を求めよ。 1, 1+2, 1+2+3, ... ..., 1 +2 +3 + •+n, ...... (解説) 第ん項は 1+2+3++k=· == -k(k+1) また,初項から第n項までの和 S, は n n n n n -k(k+1) = ·k² + k = ·Σ k² + Σ k k=1 k=1 k=1 (S₁ = = = = n(α+)) = 1 1 2 1½ 1 1 (n + n(n+1)(2n+1)+ • 2 n(n+1) 1 = 12 =/m n(n+1){(2n+1)+3} -n(n+1)(n+2)

蛍光ペンを引いているところなのですが、どうして2.3とかが出てくるのですか？ どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

目標解答時間 87 難易度★ 表と裏が等確率で出るコインを最大6回まで繰り返し投げる。 以下,Zの期待値を E(Z) と表す。 (1) 裏が出たら投げるのをやめる試行をSとし, やめるときまでに投げた回数を確率変数X とする ただし, 6回投げて6回目に初めて裏が出たときと6回投げて裏が出ないときは X=6 とする。 1 P(X=1)= ア である。 Xの期待値は P(X=2) = 1 1 P(X=6)= ウエ E(X)=1.P(X=1)+2・P(X=2)+3・P(X=3) +.4・P(X=4)+5・P(X=5)+6・P(X=6).. であるが,次のように工夫することで期待値 E(X) を整理する。 1,2,3,4,5,6 に対してコインをん回投げる試行 T において 1回目からん回目まです べて表であれば1,そうでなければ0の値をとる確率変数を X とする。 P(X=1)= であり,E(X3)= オ 1 カ である。 X=1 は,試行Sにおいてはキ回目までは投げることを意味し、X=1のとき,X=7 である。 よって, X= ケ +X1+X2+....+X と表すことができ, E(X)= サ シ 2 ある。 コ シ | の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 4 ① 5 6 k また、この結果と①から 1. 1 +2.. +3・ 22 1 23 +4.. 1 24 1 +5・ ・+6・ 1 セ 26 2 とわかる。 (2)裏が2回出たら投げるのをやめることとし、やめるときまでに投げた回数を確率変数 Y とする。 ただし、1回目から5回目までに1回裏が出て6回目に裏が出るときと6回投げて裏が2回出ない ときは Y=6 とする。 Yのとる値として最小のものはタ であり P(Y= タ 1 チ P(Y=5)=ツ 1/12/30,P(Y=6)=1 テ 25 である。 (1)のE(X) と比べると,E(X) ト E (Y) である。 ト の解答群 ⑩ <

この解答の途中式教えてください。なんでこれ出てきた？なんでこれ無くなった？と思うところがたくさんあります、、。

応用 例題 4 次の和Sを求めよ。 S=1・1+2・2+3･22+......+n.2n-1 考え方 21 ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。 解答 S=1·1+2.2+3·22+4.23+...... + n.2n-1 両辺に2を掛けて 2S= 1・2+2・22+3・2°+…+(n-1) ・2"-1+n・2" これらの式の辺々を引くと S-2S = 1 + 2 + 22 + 2 + •••••• + 2n-1-n2" 2"-1 よって -S= -n.2" 2-1 したがって S=-(2"-1)+n2"=(n-1)・2"+1

(2)の最後はなぜ2のｎ乗になるのでしょうかn-1乗ではないのでしょうか？

= =((2n²+3n+1)-6n-6+18} 6 ———-n (2n² - 3n+13) = (2) 与えられた数列の階差数列をとると, 1, 2, 4, 8, となる. *** これは,初頭 1, 公比2の等比数列だから |展開 因数 第n項は、 2"-1 [115] よって, 求める数列の一般項は, n≧2 のとき n-1 2+Σ2k-1=2+- 2-1-1 -=2"-1+1 119] k=1 これは, n=1のときも含む. よって, 初項から第n項までの和は n n 21+1=2 1 1 2-1 【吟味 [119] k=1 k=1 k=1 2"-1 2-1 +n=2"+n-1 20-1-1 n ? -T

この問題の赤線部分なんですが、2aのaは初項だから第ｎ群の初項を入れればいいと思うんですが、赤線で囲った式だとあくまで第ｎ群の初項が全体の数列の何番目かを示す式であって第ｎ群の初項の具体的な値ではないと思うんですが、なぜ2aの部分に入れられるのですか？教えてください。

550 基本 例題 112 群数列の応用 1 2 3 45 初項から第210項までの和を求めよ。 6 7 8 1'2'2'3'3'3'4'4'4'4 10 9 11 5 [類 東北学院大〕 ・の分数の数列について 基本 指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。 分母: 1/2,2/3, 3, 3/4,4,4,4/5, 1個 2個 3個 4個 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子:1/2,3/4, 5, 6/7, 8, 9, 10 | 11, ...... 分子は, 初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子は しい。 まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 解答 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 8 9 10|11 45' 12 34 5 6 7 12'23'3'34'4'4' もとの数列の第項は分 子がんである。また、第 群は分母がんで、個の を含む。 これから,第n群の最後の 重要 例題 自然数 1,2, (1) 左から 然数をm (2)150は るか。 指針 群数列 解答 (1) 左 番目 (2) 19 して 並べられた 1/2,3, (1)①の 第1群から第n群までの項数は 1+2+3+…+n=1/23n(n+1) 第210項が第n群に含まれるとすると 108-8-(1-x) + 数の分子は1/27(n+1) (n-1)n<210≤n(n+1) 第峨野の初項 目の位置 よって (n-1)n<420≦n(n+1) ・・・・・ ① (2)150が 左から m (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 であるから, ①を満たす自然数nは n=20 1 また,第210項は分母が20である分数のうちで最後の数であ る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は ・20・21=210 2 122<15 第12君 群の1 ゆえに, 求める和は k2+1 1 = k=1 2 2 \k=1 =1445 1/12712.12m(n-1)+1}+(n-1) 1)+n (x²+1)=(20-21-41 +20) n²+1 ÷n= 2 は第n群の数の分 の和 等差数列の和 また、 よって (20・21・41+20) n(2a+ (n-1)d) ある。 練習 ③ 112 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列 1 3 1 3 5 7 135 2'4'4'8'8 8'8' 16' 16' 16' について,第1項から第100項までの和を求め 15 1 16' 32' ****** 類 岩手大 練習 113

この問題なんですが、n＝k +1ってどこから出てきたんですか……？

視点 証明 正 数学的帰納法による等式の証明 nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 1 +3 +5 + ･･･+(2n-1)=n2 ① 19ページでは ①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考 えた。 数学的帰納法を用いることでも①を証明できるだろうか。 [1]n=1のとき (左辺) = 1 (右辺)=12=1 よって, ① はn=1のとき成り立つ。 [2] ①がn=kのとき成り立つ,すなわち 1+3+5+ ･･･+(2k-1)=k ② と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。 n=k+1 のとき, ①の左辺を ② を用いて変形すると 1 +3 +5 + ･･･ + (2k-1)+{2(k+1)-1} 419 == = k + (2k+1) = (k+1)2 n=k+1 のとき, ①の右辺は (k + 1) よって,①は n=k+1のときにも成り立つ。 [1] [2] より,すべての自然数nについて ①が成り立つ。