●グニ
基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲
| 2次方程式x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように定数の
値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解を α,β とする。
指針
(1)2つの解がともに1より大きい。→α-1>0) かつ β−1>0
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 →α-3 と β-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお,グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては,解答副文の 別解 参照。
下の周
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,β とし, 判 | 別解 2次関数
解答別式をDとする。
D=(-p)²-(p+2) =p²-p-2=(p+1)(p-2)
解と係数の関係から a+β=2p, aß=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
D≧0かつ (α-1)+(β−1) > 0 かつ (α-1)(β−1)>0
D≧0から
(p+1)(p-2) ≥0
よって
p≤-1, 2≤p
1
(α-1)+(β−1)>0 すなわち α+β-2>0 から
よって
2p-2>0
(α-1)(β−1)>0 すなわち
p+2-2p+1 > 0
よって
p<3
(3)
求める」の値の範囲は,①,②,
③ の共通範囲をとって
......
よって
p>1
②
aβ-(a+β)+1> 0 から
すなわち αβ-3(a +β)+9 < 0
ゆえに
p+2-3・2p+9 < 0
2%
2≦p <3
(②) u<Bとすると,<3 <βであるための条件は
(a-3)(B-3)<0
b> ll
5
-1
(1)
1 23 P
f(x)=x²-2px+p+2
のグラフを利用する。
D
(1) 2012=(p+1)(p-2)≧0.
4
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p <3
YA
3-p
p.87 基本事項 2
O
+
a
x=py=f(x)
I
P
B
x
(2) f(3)=11-5p < 0 から
D> 11
15
題意から、 α=βはあり
えない｡
