ヵを5以上の自然数とするとき、 2?<2" <ヵ! を証明せよ.
数学的帰納法② : 不等式の証明
n2 <29 を①、 27 <ヵ! を⑨ とする.
国 =5 のとき
(左辺) = 5? =25, (右辺) = 25 = 32 より, ①は成立する.
図 メニム (た 5) のとき
⑩の成立を仮定すると 選<2
カーた十1 のとき
(た二1)? <2け1 が成立することを示す.
2せー(+102 =2・9k 一(k+102
>2・ピー(ま1
=ニー2たー1ニ(はー17ー2>0 (-まと5
よって,ヵニームた十1 のときも①は成立する.
ー. 国、 [2] より、 5 以上のすべての自然数 について①は成立する.