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愚直にまとめていくと分かります.
P(x)=(x^2+1)Q_1(x)+(3x+2)
P(x)=(x^2+x+1)Q_2(x)+(2x+3)
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+(ax^3+bx^2+cx+d) [4次式で割った余りは3次式以下]
この余りは3次式なので2次式である(x^2+1)や(x^2+x+1)で割ることが出来ます.
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+(x^2+1)(ax+b)+(c-a)x+(d-b)
=(x^2+1){(x^2+x+1)Q(x)+(ax+b)}+(c-a)x+(d-b)
と変形できます. 最初の条件式と見比べると
Q_1(x)=(x^2+x+1)Q(x)+(ax+b), (c-a)x+(d-b)=3x+2
となっているわけです[確かに紫の部分の主張が正しいことが分かる].
同様に
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+(x^2+x+1)(ax+(b-a))+(c-b)x+{d-(b-a)}
=(x^2+x+1){(x^2+1)Q(x)+(ax+(b-a))}+(c-b)x+{d-(b-a)}
なのでQ_2(x)=(x^2+1)Q(x)+(ax+(b-a)), (c-b)x+{d-(b-a)}=2x+3
という恒等式を得ます. 文字4個, 式4個なのでこれは解くことが出来ます.
同じ多項式の冪乗倍, たとえば(x^2+1)と(x^2+1)^2の余りが与えられた時は話が変わってくると思います.
そうではない場合は上の発想で解くことが出来るはずです.
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この種の問題は
*因数定理を利用する x=±i, ω, ω^2のように複素数が絡む問題もある.
*微分をしてみる. これは上であげた冪乗倍のケースで有効[背景として多項式近似があるが, 大学1年の話].
といったタイプのものもあるので, [チャートや1対1対応のような]網羅系の参考書・問題集で学習することを薦めます.
これは同じような場合ならいつでも適応できますか？