PQ=(x2-x)°+(y2-y)°=(x2-x)°+{4(x2-x)}?| 解くと
直線 y=4x+1 と楕円 4x°+y°%=D4が交わってできる弦の中点の座標, および長さ
基本 例題60 弦の中点長さ
OOOOの
を求めよ。
p.106 基本事項
「ソ=4x+1
14x°+y?=4
指針>連立方程式
れるが、計算が面倒になることが多い。 よって, ここでは2式からyを消去して得られる
xの2次方程式の解と係数の関係を用いて解く。
を解いて,直線と楕円の2つの交点の座標を求める解法も考えら
2章
7
解と係数の関係
| ax+bx+c30 の2つの解を α, Bとすると 十8-
aB=
CHART 弦の中点·長さ 解と係数の関係が効く
解答
0, 4x°+y?=4
0をのに代入して整理すると
y=4x+1
2とする。
X」く。
2/Q(x。 )
20x+8x-3=0
2,5
4|x2-x1|
直線0と楕円2の2つの交点をP(xi,), Q(x2, ya) とす
ると,x, X2 は2次方程式 ③ の異なる2つの実数解である。
よって,解と係数の関係から
-1
1
K
2
2ix2=L3 e
P(x), Vi)
-2| 2-x
2
十x2=--
20
は原点を避
ここで,弦PQの中点は線分 PQの中点, 弦PQの長さは線分
深を表す。
PQの長さである。
総分 PQの中点の座標は
線の新法
から, グラブ
X+x2
4.
2
X+x2
2
1中点は直線① 上。
共有点の
すなわち(十2,2(xitx)+1)
1'
④から(-
もできる
2
また
5'5
検討
V2-ュ=4x2+1-(4x,+1)=4(x2-xi)
よって
連立方程式O, ② を実際に
もつ。
=17(x2-x)?=17{(x1+x)-4x,xa}
(x, y)
-2±(19
10
1土2V19
ミ
17·19
5°
5
ゆえに
三
(複号同順)
これから, 弦の中点の座標,
長さを求めてもよい。
20
PQ=
17·19
V323
V 5
5
円)
T8
N
2次曲線と直線
京の限者
