45 [A] 3点A(1,7,0),B(-1, 5, 0) C(-2, 6, 4)を通る平面をαとし、平面上にな
点P(1,5,5) から垂線PHを下ろす。 このとき、線分PHの長さと点Hの座標
を求めよ。
青チャート
数学C 基本例題 72
AB=(-2,-2,0), AC = (-3,-1,4), AP=(0,-2,5)
DA P
A CH
C
B
点Hは平面上にあるから, AH=sAB+tAC (s, tは実数) とおける。
ゆえに PH=AH-AP=sAB+tAC-AP
=s(-2,-2,0)+t(-3,-1,4) (0,-2, 5)
=(-2s-3t, -2s-t+2, 4t-5 ...... ①
PH⊥αであるから PHLAB, PHAC
PHAB から PH-AB=0
よって
-2(-2s-3t)-2(-2s-t+2)+0(4t-5)=0
ゆえに 2s+2t-1=0
a
②
PHACから
PH・AC=0
4s+13t-11=0
よって -3(-2s-3t)-(-2s-t+2)+4(4t-5)=0
ゆえに
.....
③
② ③ を解いて
1
S=-
t=1
2
よって①に代入すると PH = (-2,2,-1)
ゆえに PH=|PH|=(−2)+2+(−1)=3
更に、原点を0とすると
OH=OP+PH= (1,55)+(-2,2,-1)=(-1,7,4)
すなわち H(-1, 7, 4)