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例題 177 数列の和の不等式と走
(1) 自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。
思考プロセス
nlogn-n+1≦log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n
(2) 次の極限の収束, 発散を調べ, 収束するときにはその極限値を求めよ。
lim
log(n!)
n-00 nlogn-n
(1) 既知の問題に帰着
( 東京都立大 )
LA
(右辺) = log2+log3 +･･･ +logn
(OTRE 8T
...4
..., n-1 (n≧2) として辺々を加えると
① ③より
k=1,2,
log(n!) < (n+1)log(n+1)-n
次に、②の右側の不等式において,
015
k=1
ここで
Slogxdx <log(k+1)
(左辺 = xl0gx-x1dx
=nlogn-n+1
logn
log2
0
234n-1 n x
log2 + log3 +·· + logn
>"logx dx
いて
= log(2.3··0g(n!)
log(zl) = log1+log2+log3 +... +logn = 2logk
← 数列の和
よって nlogn-n+1<log(n!)
2･3･････n
=1.2.....n
« Wire Action 数列の和の不等式は、長方形との面積の大小関係を利用せよ 例題176
この式に n=1 を代入すると (左辺) = 0, (右辺) = 0
= n!
y=logx
log(k+1)
+ Th₂ = 18
であるから nlogn-n+1≦log(n!)
④ ⑤より, 自然数nに対して
... 5
logk
nlogn-n+1≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n
右側の不等式の等号が成
k k+1 k k+1
(2)n≧3のとき,(1)の不等式の各辺を
kk+1
k+1
logk < *** logxdx < log(k+1)
k k+1 x
S
S
nlogn-n
nlogn-n
それぞれんをどのように変化させると logkが現れるか?
k1
例題
25
ここで, n→∞の
(左辺) = 1+
nlogn-n+1
nlogn―n
nlogn-n
nlogn-n
極限値が一致することを示す
(2) ReAction 直接求めにくい極限値は、はさみうちの原理を用いよ 例題25
(1) より nlogn-n+1≦log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n
log(n!)
(n+1)log(n+1)-n
nlogn-n=n(logn-1)>0で割ると
nlogn-n+1 log(n!) (n+1)log(n+1)-n
り立つことはない。
を考えるから,
n≧3 としてよい。
n≧3 のとき,n≧3>e
より log > 1
(nlogn-n) +1
nlogn-n
nlogn-n
→1
n(logn-1)
1
(n+1)log(n+1)
(右辺)
nlogn
1
1-
1
logn
=1+
nlogn-n
log(n+1)
logn
logn+log(1+
= log{n(1+)}
=logx+log(1+1/12)
S800
【1+
解 (1) log(n!) = log1 + log2+・・・+logn=
Žlogk
y=logx
n
・・・①
k=1
例題
176
y =logx は x >0で単調増加するから,
k≦x≦k+1 において logk logx log(k+1)
・k+1
等号が成り立つのは,x=k, k+1のときのみであるから
よって
k+1
logkdxf logxdx < log(k+1)dx
ck+1
logk < $logxdx < log(k + 1)
... 2
②の左側の不等式において, k = 1, 2, n として
辺々を加えるとlogk Slogxdx
<
k k+1
k+1
たがっ
>
小
y E
logne
k=1
... 3
log2
ここで
(右辺 = [xlogx]"*
■k+1
n+1 1
01234n-In
= (n+1)log(n+1)-n
x-dx
n+1.
x
log1 + log2 + ･･･logn
長方形の面積を加えたもの
(2)nlogn-n+1<log
en+1
logxdx
(3) 極限値 lim(n!) 10g を求めよ。
練習 177k0nを2以上の自然数とするとき
(1) logk<
logxdx log(k + 1) が成り立つことを示せ。
(n+1) logn-n+1が成り立つことを示せ。
(大阪大)
329
p.363 問題 177
収束し、その極限値は lim
11789
log(n!)
=1
n-nlogn-n
1
logn
logn
1
1-
logn
1
logn
1
logn
(1+1/2){1+ .log(1+1/2)}-1
logn
→1
したがって、はさみうちの原理より、与えられた極限は
