25 [中線定理)
AABC において、, 辺BCの中点をMとする。
AB*+AC"== 2(AM"+BM°) であることを、A(a, b), B(-c, 0), Clc, 0) として証明せよ。
12) AB= 5, BC= 6, CA=3であるとき,中線 AMの長さを求めよ。
考え方
(1) A=Bの証明では,AとBをそれぞれ座標を用いて表し,等しいことを示す。
(2)(1)で証明した式(中線定理)を利用する。
解答
(1) A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0)のとき,辺BC
の中点 Mは原点0である。
A(a, 6)
* A=B の証明の書き方
AB?+ AC?= {{-c-a)"+(0-6)}
+{(c-a)+(0-6)?}
A=…= C
B=…=C
M
B(-c, 0) 0| C(c, 0) *
= 2(a'+が+c)
よって A=B
また
2(AM°+BM°) =2{(a°+6°)+c°}= 2(a°+6+c°)
ゆえに AB?+AC?= 2(AM°+BM°)
(2)(1)より
(証明終わり)
5+3=2(AM"+3°)
* AB?+AC*= 2(AM"+BM)
AM”+9= 17
において、BM=
6
=3 であ
AM'= 8
る。
AM>0より AM=2/2
答
