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基礎
「基礎問」とは、
できない)問題を
本書ではこの「基
効率よくまとめて
■入試に出題され
取り上げ
行います。 特
実にクリアでき
「基礎問」→「
題」で一つのう
一つのテーマは
し 見やす
した。
94
第4章 三角関数
基礎問
58 直線の傾きと tangent
(1) 軸の正方向と75° をなす直線の傾きを求めよ.
味
ゆえに, m=1-m²
m²+m-1=0
m0 だから
(2) 2直線y=0 (z軸) と y=2xのなす角を2等分する直線の
うち、第1象限を通るものを求めよ。
(1)直線の傾きと,直線がx軸の正方向となす角0の間には
はこれだけでは答えがでてきません。 それは tan 75° の値を知
m=tan0 の関係があります. とても大切な関係式ですが、
ないからです.しかし, sin 75° や cos 75° ならば,75°=45°+30°と考えれ
54の加法定理が使えます. だから, ここではtangent の加法定理 ( ポイン
を利用します。
(2) 求める直線を y=mx, m=tan 0 とおいて, 図をかくと, tan20=2を
たすm (または tand) を求めればよいことがわかります. このとき,2倍
公式 (ポイント) が必要です.
解答
(1) 求める傾きは tan 75°
tan 45° + tan 30°
tan 75°=
1-tan 45° tan 30°
tan45°=1だから
tan (a+β)
45+30
1 + tan 30°
1+tan30°
1-tan 30°
1-1xtan30°
にα=45°,β=30'
1
1+
3
/3+1
を代入
=
-=2+√3
1-
√3-1
√3
tan +tanβ
1-tana tanẞ
m=
よって, y=-
-1+√5
2
√5-1
2
-x
(別解) A(1,0),B(1,m), C(1,2) とおくと,
y=mx は∠AOC を2等分するので
OA:OC=AB BC が成りたつ。
95
RE Ca
<第1象限を通るから
IA 53
: 1:√5=m: (2-m) .. (√5+1)=2 「角の2等分線の
性質」
√5-1
よって, m=
2
√5 +1
2
ポイント <加法定理>
tan (α)=-
< 2倍角の公式>
・tan20=
tan atan B
1tan a tanẞ
(複号同順)
2 tane
1-tan20
<半角の公式>
01-cos 0
tan2
2 1+cos
注 75°=120°-45°と考えることもできます.
(2)求める直線を y=m, この直線がx軸の正方
yo
向となす角を0とすると
(0<e</, m>0)
/y=2x
y=mx
第4章
注
これらの公式はすべて, tan0=-
2倍角の公式から導かれます.
sin
COS
の関係と, sin, cos の加法定理,
tan20=2
:
2 tan
CB
演習問題 58
1-tan20
-=2
A
直線 y=x と y=2. のなす角を2等分する直線y=mx (m>0)
を求めよ.
