思考プロセス
34
例題50
高次方程式の虚数解
複素数 3-iが3次方程式4x²+ax+6=0 の解となるような実数の
定数 α, b の値を求めよ。 また, 残りの解を求めよ。
《Action 実数係数の方程式の虚数解が与えられたときは, 共役な複素数も解とせよ
条件の言い換え
(解の1つが
x=3-i
/ 共役な複素数
x=3+も解
これを解くと
このとき, 方程式は
〔本解〕
3 - i と 3 + i を解にもつ2次方程式
a=-2, b=20
(2次式)=0 に対して
これを解くと
〔別解 2]
(x+2)(x2-6x+10) = 0
x=-2,3±i
係数がすべて実数であるから, 3-iと共役な複素数 3 + i Point 参照
も解である。
残り1つの解をα とすると,
ここで, 3-iと 3 + i を解にもつ2次方程式の1つは
37
x² − {(3−i) +(3+i)}x+(3−i)(3+i) = 0
= (2次式) (1次式) と因数分解できる。
解と係数の関係より
[(3-i)+(3+i)+a= [
〔別解1] 方程式にx=3-i を代入
すなわち
x2-6x+10=0
よって,x-4x2+ax+b は x2-6x+10で割り切れる。
右の計算より
x +2
商はx+2 x2-6x+10) x-4x+
余りは
x3-6x2+
(a+2)x + (6-20)
この余りは0となるから
a+2=0, b-20 = 0
(3−i)(3+i)+(3+i)a+a(3−i) = [
[(3-i)(3+i)a= [
ax+b
10x
2x2+(a-10)x+6
★★
2x² -
12x+20
(a+2)x + (b-20)
例題 34
としてもよい。
2数を解にもつ2次方程
式の1つは
x2-(和)x+(積) = 0
x=3i を解にもつ2次
方程式は x3=iの
両辺を2乗して
x2-6x+9= -1
x2-6x+10 = 0
「割り切れる」
(余り)=0
