Question

kita

数IIの高次方程式の虚数解についての問題です。

写真の問題の模範解答では共役な複素数を解に持つ
X^2−6x＋10＝0で三次式を割っていますが、他の共役な複素数を解にもつ二次式（2x^2−12x＋20＝0)などで割り、解答するのは間違いでしょうか。

2x^2−12x＋20＝0で三次式を割る場合、三次式が共役な虚数解では割り切れるが2で割り切れるとは限らないように思っていたのですが、商が2枚目の写真のように分数×一次式になっても割り切れているといえるものなのでしょうか。

また数学において割り切れるの定義は何かを知りたいです。
商が整数かつ余り0と考えていたのですが、この問題のように商がX＋2の時のような変数を含み商が整数と言いきれない場合でも割り切れるというような、商が整数という条件が不要な理由を教えていただきたく思います。

思考プロセス
34
例題50
高次方程式の虚数解
複素数 3-iが3次方程式4x²+ax+6=0 の解となるような実数の
定数 α, b の値を求めよ。 また, 残りの解を求めよ。
《Action 実数係数の方程式の虚数解が与えられたときは, 共役な複素数も解とせよ
条件の言い換え
(解の1つが
x=3-i
/ 共役な複素数
x=3+も解
これを解くと
このとき, 方程式は
〔本解〕
3 - i と 3 + i を解にもつ2次方程式
a=-2, b=20
(2次式)=0 に対して
これを解くと
〔別解 2]
(x+2)(x2-6x+10) = 0
x=-2,3±i
係数がすべて実数であるから, 3-iと共役な複素数 3 + i Point 参照
も解である。
残り1つの解をα とすると,
ここで, 3-iと 3 + i を解にもつ2次方程式の1つは
37
x² − {(3−i) +(3+i)}x+(3−i)(3+i) = 0
= (2次式) (1次式) と因数分解できる。
解と係数の関係より
[(3-i)+(3+i)+a= [
〔別解1] 方程式にx=3-i を代入
すなわち
x2-6x+10=0
よって,x-4x2+ax+b は x2-6x+10で割り切れる。
右の計算より
x +2
商はx+2 x2-6x+10) x-4x+
余りは
x3-6x2+
(a+2)x + (6-20)
この余りは0となるから
a+2=0, b-20 = 0
(3−i)(3+i)+(3+i)a+a(3−i) = [
[(3-i)(3+i)a= [
ax+b
10x
2x2+(a-10)x+6
★★
2x² -
12x+20
(a+2)x + (b-20)
例題 34
としてもよい。
2数を解にもつ2次方程
式の1つは
x2-(和)x+(積) = 0
x=3i を解にもつ2次
方程式は x3=iの
両辺を2乗して
x2-6x+9= -1
x2-6x+10 = 0
「割り切れる」
(余り)=0

(x-2)(九一)(九一γ)を(一人)(x-β)で割る
(x-r)が面で割り切れる。
(-2)(フレー)(九-2)をみ)(九一色で塗る
JL
1/2/2(-8)で割り切れる、
が

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