どうしてx＝1なのにふたつある与式の下の方を使ってるんですか？

基礎問 59 微分可能性 関数 f(x) を次のように定める. log.x (x≧1) mily f(x)={ IC x²+ax+b (x<1) このとき 関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め よ. ただし, lim log (1+h) -=1 は用いてよい. 105 h→0 h 精講 f(x) が x=a で微分可能とは,f(a) が存在することを意味しま すから,ここではf' (1) が存在することを示します. 定義によると lim f(1+h)-f(1)=f(1) ですが,1+hと1の大 h→0 h 小,すなわち, h0 とん<0 のときで f(1+h) の式が異なるので, ん → +0. ん→0の2つの場合を考え、 lim -= lim f(1+h)-f(1). f(1+h)− f(1) 52 左側極限, ん→+0 h h--0 h 右側極限 が成りたてば 012 f(1+h)− f(1) -mail lim が存在する h→0 h ことになり、目標達成です. これだけで α, bの値は求 められますが,ポイントにある性質と, 連続の定義を利 使用してαと6の式を1つ用意しておくと, ラクに a, b の値を求められます。 153 解答 ① まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ. .. lim (x2+ax+b)=0 x→1-0 x→1 よって,1+a+b=0………① 条件の1つ このとき log1= -=0 1 f(1+h)-f(1) lim = lim 1/log(1+h) ん→+0 h h→+0 h 1th-0

例題72.2 f(0)の求め方はこれでもいいのでしょうか？？

演習 例題 72 関数方程式の条件から導関数を求める 関数f(x) は微分可能で, f'(0) = a とする。 00000 (1) 任意の実数x, y に対して,等式f(x+y=f(x)+f(y) が成り立つとき, f(0), f'(x) を求めよ。 (2)任意の実数x,y に対して, 等式f(x+y=f(x)f(y), f(x)>0が成り立つ f(0) を求めよ。 また, f'(x) を α, f(x) で表せ。 演習 70 このようなタイプの問題では,等式に適当な数値や文字式を代入することがカギ となる。 f (0) を求めるには, x=0 や y = 0 の代入を考えてみる。 また,f'(x) は 定義 f'(x)=limf(x+h)-f(x) h→0 h に従って求める。 等式に y=h を代入して得られる式を利用して,f(x+h)-f(x)の部分を変形していく。 きを (5) (1) f(x+y=f(x)+f(y) ..... ① とする。 解答 ① に x=0 を代入すると f(y)=f(0)+f(y) f(0)=0 x=y=0を代入してもよい。 【アの両辺からf (y) を引く。 また, ① に y=h を代入するとf(x+h)=f(x)+f(h) f(x+h)=f(x)+f(h) から 12 ma ゆえに ゆえに f'(x)=lim f(x+h)−f(x) f(h) f(x+h)-f(x)=f(h) = =lim [大工製受] h→0 h h→0 h f(+h)-f() =lim f(x)+ho (2) f(x+y=f(x)f(y) f(0+h)-f(0) ②にx=y=0 を代入すると ② とする。 (*) lim -=f'(■) =f'(0)=a h→0 h h (*) f(0)=0 ...... f(0)=f(0)f(0) f(0) 2次方程式とみる。 よって f(0){f(0)-1}=0 (2 (0) f(0) > 0 であるから f(0)=1 また, ② に y=h を代入するとf(x+h)=f(x)f(h) 条件f(x)>0に注意。 大 (S) ゆえに BC [大 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) h f(x){f(h)-1} =lim lim f(x)f(h)-f(x) h→0 h→0 h (E) h→0 (2) AB Ta f(0+h)-f(0) =f(x)・lim h h→0 dx f(0) = 1, f'(0)=α = f(x)• f'(0) =af (x) = < 8

【漸近線】 二枚目の写真の解説で漸近線がある条件で「どちらかが成り立てば」と書いているんですが一枚目の写真の回答ではどちらも示しています。実際に回答するときはどちらか片方だけを示すだけで良いですか?

1 だから, y'=1-(x-2)2 y' = 0 とすると (x-2)2=1 .. x=1,3 解答 IC y' 注3参照 + 1 0 y 7 20 2 *** 0 3 + 7 4 7 また,増減は右表のようになるので 極大値 0, 極小値 4 次に, limy=+∞, limy=-∞ より YA x-2+0 x2-0 直線 x2 が漸近線. 4 y=x また, lim 1 x→∞ x-2 = 0 だから, 直線 y=xも漸近線. 以上のことより, グラフは右図. 012 3 IC 1 2 ...

118の解答を見ても場合分けの仕方がわからないので教えて欲しいです。

B 116 次の関数が, x=0 で連続になるように, 定数 αの値を定めよ。 (1) f(x)=|x| (x=0) cosx−1 (2) f(x)= x a (x=0) a (x=0) (x=0) 117 無限等比級数で表された関数 f(x)=x2+- + x2 x2 1+|x|¯ (1+|x|2 いて,y=f(x)のグラフをかき, その連続性を調べよ。 .+...... につ -1. 118 関数 y=lim →∞ x2n+2 のグラフをかき, その連続性を調べよ。 例題 26 □ 119 関数 f(x) が連続でf(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3,f(3) = 10 のとき,方 程式 f(x)=x2 は 0<x<3の範囲に少なくとも3個の実数解をもつこと を示せ。 Bas B Clear

99の青マーカーの部分の式がよくわからないです💦 よろしくお願いします🙇

*(1) lim (√x²+ax X18 81X *99 次の2つの条件[1], [2] をともに満たす3次関数 f(x) を求めよ。 [1] lim f(x)=3 X-0 x 2] lim f(x) =-1 x→1x-1 B Clear

(3)なんですが、横の補足のグラフがどうして-π/2とπ/2に黒丸なのかが分かりません。ガウスなら−1の所に黒丸じゃないんですか？ ガウスが苦手です( ඉ-ඉ )

基本 次の関数 f(x)が, x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし, [x] (ガウス記号) は実数xを超えない最大の整数を表す。 (3)f(x)=[cosx] (1) f(x)=x3 CHART & SOLUTION (2)f(x)=x2(x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6 関数の極限 f(x) がx=α で連続 ⇔ limf(x)=f(a) x→a f(x)がx=αで不連続⇔xa のときのf(x)の極限値がない または limf(x)=f(a) x1a limf(x), f (a) を別々に計算して一致するかどうかをみる。 x→a 解答 (1) limf(x)=0, f (0) = 0 から limf(x)=f(0) (1) f(x)A 中 2章 5 x→0 x→0 よって、関数 f(x) は x=0で連続である。 (2) limf(x)=0,f(0)=1 から f(x) A x→0 limf(x)=f(0) よって、 関数 f(x)はx=0で 不連続である。 -1 1 201 S+0-0[ (エ)左 0 1 x ←グラフでは, x=0でつ ながっているかどうか をみる。 (3)xx0 とすると 0<cosx<1 よって [cosx]=0 ゆえに また lim[cosx]=0 x→0 f(0)=[1]=1 よって lim f(x)+ƒ(0) (+)--( x-0 したがって, 関数f(x) は x=0で不連続である。 (3) x>-->>- #1 =(x) f(x)4 10x) (S) π 2 2 0 x f(x)とする。 ■RACTICE 43 次の関数 f(x) が,連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし, [x] は実数x を 超えない最大の整数を表す。 M

数3の微分です。 答えと違うこの方法でもよろしいのでしょうか？

例題 56 連続と微分可能 ( **** 関数f(x)= sin 1 x 0 微分可能か . (x=0) (x=0) か は,x=0 で連続か. また, x=0 で 「考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える. < 連続> 〈微分可能> KAP f(x) がx=a で連続 f(x) が x=aで微分可能 220 ⇔ limf(x)=f(a) x → a ⇔f'(a)=lim f(ath)-f(a) 70 k→ 0 h が存在する 解答 このとき「微分可能であれば連続」 であるが,「連続であっても、微分可能とは限らな 「い」ことに注意する. x=0で0sin ossin1/10より 0≦x°sin limx2=0 より x0 | ≤x² x 1, lim|x'sin |=0 x limf(x)=limxsin- したがって, x0 0fx -=0 x f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり, x 0 関数f(x) は x=0 で連続である. f(0+h)-f(0) 次に, lim h→0 h 1 h² sin 0 h =lim h→0 h limf(x)=f(0) であるか確 かめて, x=0 で連続かど うか調べる. x20 より 各辺にxを 掛けても,不等号の向きは 変わらない. 各辺をx→0として極限 をとり、はさみうちの原理 を利用する. x=0 で微分可能かどうか 調べる. YA |y=f(x) =limh sin- h→0 h 0≦|hsin/12/11hl.limh=0より①は、 limhsin12=0 h→0 h よって, f'(0) が存在するので, 関数f(x)はx=0で微分可能である. f'(0)=0 注〉x=αで連続であることとは別にx=αで微分可能であることを示す必要がある. 練習 x 56 ** f(x) * sin(x0) は, x=0 で連続か. また, x=0で微分可能か (x=0) →p.131

(1)は公式が使えないのですか？

5 -4- 2023 筑波大学(理系) 前期日程 問題 解答解説のページへ f(x)=x-2e* (x>0) とし, 曲線y=f(x) をCとする。 またんを正の実数とする。 さらに,正の実数 tに対して, 曲線 C, 2直線x=t, x=t+h, およびx軸で囲まれた 図形の面積をg(t) とする。 (1) g'(t) を求めよ。 (2) g(t) を最小にするt がただ1つ存在することを示し, そのtをんを用いて表せ。 (3)(2)で得られたtをt (h) とする。 このとき極限値 lim t(h)を求めよ。 ん→+0

(1)の答えで、 2枚目の写真の左の式を使っても大丈夫ですか？

3 定義、公式の証明- (1) 関数f(x)のx=αにおける微分係数の定義を述べよ。( (2) 関数f(x), g(x) が微分可能であるとする. 積の微分公式 {f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を証明せよ. 宮崎大 (3) f(x)=x"(n=1, 2, 3, に対し,f'(x)=nzn-1であることを,数学的帰納法により IS (上智大理工) せ 定義をしっかり押さえておく 「連続」「微分可能」の定義をしっかり押さえておこう(p.34) 連続とはグラフがつながっている, 微分可能とはグラフがなめらか,というグラフのイメージをきち んと定式化したものである.なお,r=αで微分可能であれば, x=αで連続である.これは, f(ath)-f(a) lim{f(a+h)-f(a)}=lim ・h=f' (a) •0=0 ∴ limf(a+h)=f(a) h→0 h→0 h→0 と示すことができる. 逆は成り立たない (反例は,f(x)=|x-al). 公式を証明できるようにしておく 教科書に載っている公式を証明せよ,という意表をついた出題 もある。定義から微分の公式を証明させる問題が多いので,教科書で確認しておこう)() 解答する (9) + f(a+h)-f(a) (1) 極限値lim- h→0 x=αにおける微分係数といい、f'(α) と書く. が存在するとき,この値を関数f(x) の この極限値が存在するとき,関数 f(x)はx=αで微分可能である という. (2) f (x+h)g(x+h)-f(x)g(x) ①

f(α)はなぜ7より大きいと分かるのですか？ 同様にf(β)はなぜ7より小さいとわかるのですか？

7 最大・最小 座標平面において, 4点A(-1, 1), B(-1, 0), C(1,0), D (2,2) 直線y=mxの距離をそれ ぞれ a,b,c,d とし, I = a2+b2+c+d とする.Iをmで表し,Iの最大値と最小値を求めよ. mil V (1)mil sk (月間の(近畿大薬,工、生物理工) 一般には極値で士. 小 LEA