Question

高校生

118の解答を見ても場合分けの仕方がわからないので教えて欲しいです。

B
116 次の関数が, x=0 で連続になるように, 定数 αの値を定めよ。
(1) f(x)=|x|
(x=0)
cosx−1
(2) f(x)=
x
a
(x=0)
a
(x=0)
(x=0)
117 無限等比級数で表された関数 f(x)=x2+- +
x2
x2
1+|x|¯ (1+|x|2
いて,y=f(x)のグラフをかき, その連続性を調べよ。
.+...... につ
-1.
118 関数 y=lim
→∞
x2n+2
のグラフをかき, その連続性を調べよ。 例題 26
□ 119 関数 f(x) が連続でf(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3,f(3) = 10 のとき,方
程式 f(x)=x2 は 0<x<3の範囲に少なくとも3個の実数解をもつこと
を示せ。
Bas B Clear

解答編
-37
f(x):
[1].[2]から
x²
1
1-
1+1
x>0のとき
2 (1+x)
(1+|x|)-1
=
f(x)=x1+x)=x'+x=(x+2)-1
x=0のとき f(x) =0
x0 のとき
f(x)=-x(1-x)
= x²-x
=(x-12-1
x1+x)
☑
W
g(3)=f(3)-32=10-9=1>0
したがって, 方程式 g(x) = 0 は区間 (0, 1),
(1,2), (23) で, それぞれ少なくとも1つの実
数解をもつ。
よって, 方程式 f(x)=x^は0<x<3の範囲に少
なくとも3個の実数解をもつ。
120 (1) f(x) がx=2で連続であるための条件は
limf(x)=f(2)
1-2
x2のときの極限が存在するための条件は
lim f(x) = lim_f(x)
1-2+0
1-2-0
1<x<2のとき [x]=1, 2<x<3のとき [x]=2
より
lim_f(x)=2(2-2), lim_f(x)=1·(2a-1)
1-2+0
1-2-0
よって, limf(x) = limof(x)のとき
1-2+0
1-2-0
22a-2)=2a-1
グラフは, 右の図のよう
になる。
-10
1
また, f(x) は実数全体で連続である。
■18 [1] -1<x<1のとき
|x|<1より, limx2 = 0, limx2-1 = 0 であ
3
したがって
a=
00
るから
y=lim
x2m-1+x x
このとき
→00
x2+2
[2] x=1のとき
y= lim 1+1=2
3
1+2
[3] x=-1のとき
-1-1
2
y=lim
1+2
3
[4] x<-1, 1<xのとき
||<19, lim=0. lim=0
であるから
+
x
y=lim
=lim
817
2+2
2
1+
以上から、 グラフは,
右の図のようになる。
よって, x=±1で不連
続 他で連続である。
1
limf(x) =2
1-2
また,a=2のとき S(2)=2(12/3-2-2)=2
よって, limf(x)=f(2) となり f(x) はx=2で
連続である。
したがって a=
(2) [1] x>1のとき
||<1より, tim
f(x) = lim
=0であるから
x 2 +1 + ax2m +3x +2a
x2+1
3
2a
x+a+
+
= lim
→00
1+.
=x+α
[2] 0<x<1のとき
lim=0であるから
f(x)=lim
x 2 +1 + αx2+3x+2a
x²+1
=3x+2a
x1のときの極限が存在するための条件は
limf(x) = lim_f(x)
1+0.
→1-0
limf(x) = lim (x+a) =1+α
x→1+0
lim_f(x) = lim (3x+2a) =3+2a
→1-0
11-0
limf(x)= lim f(x) のとき
x→1+0
x-1-0
1+a=3+2a
19g(x)=f(x)-xとおく。
関数 f(x) と x2 は連続であるから, 関数 g(x) は
連続である。
[1]から
11+0'
[2]から
g(0)=f(0)-02=1<0
g(1)=f(1) -1°=2-1=1>0
ゆえに,
g(2)=f(2) -2'=3−4=-1<0

36
クリアー 数学Ⅲ
113 (1) 関数 y=|x-1+2 (0≦x≦2) のグラフ
は, 図のようになる。
sin x
115 (1) limf(x) = lim-
=1
グラフから、x=0.2で最大値3,
x=1で最小値2
110
110
0
X
ゆえに limf(x)=f(0)
よって, f(x) は x=0で連続である。
(2) 関数 y=-cos2x (0<x<) のグラフは, 図
のようになる。
(2) 1<x<0 のとき, [x] = -1であるから
lim_f(x) = -(−1)=1
グラフから,x=122で最大値1.最小値はない。
(1) 31
(2)1
3
2
0
-1
0
1 2
I
(3)関数y=1/2(-1≦x<0)のグラフは、図のよ
うになる。
11-0
0<x<1のとき,[x] = 0 であるから
lim_f(x) = 0
x+0.
よって,x→0のときのf(x)の極限はない。
したがって, f(x) は x=0で不連続である。
116(1)x<0のとき f(x)=-=-x
x>0のとき f(x)=ニュー x2
limf(x)= lim(-x^)=0,
0115
1110
limf(x) = lim x2 = 0
よって
グラフから、x=1で最大値-1, 最小値はな
+0
1110
い。
すなわち limf(x) = 0
(4) 関数 y=21-z (0≦x≦1) のグラフは,図のよ
うになる。
110
また
f(0)=a
グラフから,x=0で最大値2, x=1で最小値1
(3)
y1
関数 f(x) がx=0で連続であるための条件は,
limf(x)=f(0) であるから a=0
(4)
110
cosr−1
(2) limf(x)= lim
110
2
=lim
815
(cosx−1 cosx+1)
xcosx+1)
-sin²x
O
1
x
=lim
ェー x2 (cosx+1)
sin x
114 (1) f(x) = 3' -1 -2x とおくと, f (x)は閉区
間 [0, 1] で連続である。
=lim
)(
1
cosx+1
}
=]
また
また ƒ(0) = 3-1-2.0=>0.
f(1)=3°-2・1=-1<0
よって, 方程式 f(x) = 0 すなわち 3-1-2x=0
は0<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解を
もつ。
(2) f(x)=cOSx-x^ とおくと, f(x)は閉区間
[0.zで連続である。
また
f(0)=cos0-02=1>0,
(1)=cos()=<
<0
よって, 方程式 f(x) = 0 すなわち COSx=x2 は
0<x<2の範囲に少なくとも1つの実数解をも
つ。
=12.(-1/2)=-1/2
f(0)=a
関数 f(x) がx=0で連続であるための条件は,
limf(x)=f(0) であるから a=-
110
1
117 与えられた無限等比級数の初項はx2,公比は
である。
1+1*
[1] x2 = 0 すなわち x=0のとき
この無限等比級数は収束し, その和は0であ
る。 すなわち S(0)=0
[2] x0 すなわちx≠0のとき
1
0<x<1であるから,この無限等比級数
は収束し, その和は

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

教科書には、{rⁿ}の極限は
-1,1を境目にして場合分け、
というようなことが書いてあります

この問題のような複雑な場合でも、nが乗っているもの
（ここではx）について-1,1を境目に
場合分けするのが基本です
これだけなら覚えるのも気が楽かと思います

すなわち
①x<-1
②x=-1
③-1<x<1
④x=1
⑤x>1
で場合分けします
ただし、同じ結果になるものは最終的にはまとめましょう
場合分けの時点でまとめる必要はありません

また、xⁿ以外にも2ⁿとか3ⁿとかを含む場合、
その中で底が一番大きいもの
（2ⁿと3ⁿであれば3ⁿ）で分母分子を割ることから始めます