223.) この問題で記述している 「三次関数のグラフでは接点が異なると接線が異なる」 というのは一つの接線で2つの接点を持つ方程式も存在するが、3時間数は全てそうではない、ということですか？？

43の考え方で s, f(s))で接する で接するとして 致する。 =(x-8)(x-1) 下の別 は え方によるものである。 ▼st を確認する。 方程式は x-31¹+81³. めの条件は、 方程 である。 をもてばよい。 -21-2) て、 sキナである。 0000 演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1) |曲線C:y=x+3x2+xと点A(1, α) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引 けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 1 本〔類 北海道教育大] 基本 218 -1)-8=-8 から パー 芹求めよ。 「指針3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の検討 参照) から, 曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける ・曲線C上の点 (t + 31+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある そこで, 曲線C上の点(t, における接線の方程式を求め,これが点 (1, a) を +362+t) 通ることから, f(t) =αの形の等式を導く。 。 ********* CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線[接点] も別 解答 y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, ピ+3t2+t) に おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(3t2+6t+1)(x-t) y=(3t2+6t+1)x-2t-3t2 すなわち この接線が点 (1,α)を通るとすると -2°+6t+1=α ① 定数 αを分離。 f(t)=-2t+6t+1 とすると Fit Maasto f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) f'(t)=0 とすると f(t) の増減表は次のようになる。 t=±1 ( t f'(t) f(t) -1 1 0 + 0 極小 極大 7 -3 5 ... - 5 1 -1/0; 1 y=a t |y=f(t) 3次関数のグラフでは、 接点が異なると接線が異なるから, の3次方程式 ①が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか ら曲線Cに3本の接線が引ける。 したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる 条件を求めて -3<a<5 <f(-1)=2-6+1=-3, f(1)=-2+6+1=5 < ① の実数解は曲線 y=f(t) と直線y=α との 共有点の座標。 検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係 3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α,β (αキβ)で接すると仮定すると g(x)−(mx+n)=k(x-a)²(x−ß)² (k=0) ←接点⇔重解 の形の等式が成り立つはずである。ところが、この左辺は3次式,右辺は4次式であり矛盾して いる。よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。 これに対して, 例えば4次関数のグラフでは, 異なる2点で接する直線がありうる ( 前ページの 演習例題222 参照)。 したがって,上の解答の の断り書きは重要である。 練習点A(0, α) から曲線 C:y=x-9x2+15x-7に3本の接線が引けるとき,定数 73sceto() 223 aの値の範囲を求めよ。 341 6章 3 関連発展問題 38

数三積分の問題です。 具体的に増減表がイメージできないので教えて頂きたいです。それと、tという数は不変の数なのでしょうか？？tもxも変動すると考えると何が何だか分からなくて頭がごちゃごちゃになってしまいます... 教えて頂けると嬉しいです。

〔東京学芸大] HINT ||内の式 = 0 となる値が積分区間 0≦t≦1に含まれるかど log(t+1)-10gx=0 とすると t+1=x すなわち t=x-1 積分区間は 0≦t≦1であるから, x-1≧0, 0<x-1<1, na うかがポイント。 したがっ 東習 x>0のとき、関数f(x)= Solog +1 | dt の最小値を求めよ。 xC 227 f(x)= Solog(t+1)-10gx|dt 1≦x-1 の場合に分けて考える。 (1809 +176) s [1] x-10 すなわち0<x≦1のとき log (t+1) -logx≧0 f(x)=S{log(t+1)-10gx}dt+x.ai 1 =Slog(t+1)dt-(log.x)Sdt 1721 STE 07 よって 0≦t≦1であるから 1≦t+1≦2 ゆえに t+1≧x S²x20 <Sat=[]=1 dt

214. 次に2<a<3のとき 以降がわからないです。 なぜ2<a<3のときf(α)=f(α+1)とするのですか？？

332 重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小 f(x)=x-6x2+9xとする。 区間 α ≦x≦a +1 におけるf(x) の最大値 M(α) を めよ。 指針 まず, y=f(x)のグラフをかく。 次に, 幅1の区間a≦x≦α+1をx軸上で左側から協 しながら, f(x) の最大値を考える。 なお、区間内でグラフが右上がりなら M (a) = f (a+1), 右下がりなら M (a)=f(a) また,区間内に極大値を与える点を含めば, M (α) = (極大値) となる。 更に,区間内に極小値を与える点を含むときは, f(α)=f(α+1) となるαとαの大小に より場合分けをして考える。 NA CHART 区間における最大･最小 極値と端の値をチェック 解答 f'(x)=3x2-12x+9 =3(x-1)(x-3) f'(x)=0 とすると 増減表から, y=f(x)のグラフは 図のようになる。 [1] a+1<1 すなわち a <0のとき M(a)=f(a+1) =(a+1)³−6(a+1)²+9(a+1) =a³-3a²+4 [2] a <1≦a+1 すなわち 0≦a <1のとき よって x=1,3f(x) a= 9+√33 6 以上から a < 0, ① [4] X f'(x) + (-9)±√(-9)-4・3・4 9±√33 2･3 6 2 <a <3であるから,5√33 <6に注意してα= [3] 1≦a< 9+√33 6 練習 ⑤ 214 めよ。 ≦αのとき 1 0 |極大 4 yA 4 0≦a <1のとき M (α)=4; 1≦a< [2] 9+√33 6 a01 a+1 M(a)=f(1)=4 次に, 2 <α<3のとき f(α)=f(α+1) とすると α3-6a²+9a=α3-3a²+4 ゆえに 3²-9a+4=0 3 0 + |極小| 20 y=f(x) | [3] [4] -1- a3a+1x のとき M(α)=f(a)=α-6a²+9a 9+√33 6 M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4 9+√33 6 ≦aのとき M (a)=a²-3a²+4; のとき M (a)=α-6a²+9a [1] 区間の右端で最大 YA 4 /11 1 1 1 4F 基本213 1 a 01 3 Na+1 [2] (極大値) = ( 最大値) YA 4F 最大 Oa 1 3 20.01 +1 [3] 区間の左端で最大 "1 11 7 V 1/ atl 最大 7 a 31 a+1 [4] 区間の右端で最大 YA ya. /3 1 a f(x)=x-3x²9x とする。 区間 t≦x≦t+2 におけるf(x) の最小値m(t) を求

213. [3]でaは正の定数だから0<aであることは当然なのに 0<3a/4<1と書いているのは「すなわち」の後で aがどんな正の定数であっても[1],[2],[3]のいずれかに 属するためですか？？

とにかく文 がらくになるよう とする。 平方の定理 数の変域を確認 ■柱の体積) 底面積)×(高さ) をVで表す。 0.は変域に含ま ないから、茨城の に対するVの値は 今後、本書の 2/ の方針で書く。 2x(a²- 基本例題213 係数に文字を含む3次関数の最大・最小 aを正の定数とする。3次関数f(x)=x-2ax+αx 0≦x≦1における最大 値M (α) を求めよ。 [類 立命館大] 基本 211 重要 214 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211 と同じ要領で, 極値と区間の端 での関数の値を比べて最大値を決定する。 (s) f(x)の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のようにな る(原点を通る)。ここで, x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を満たす (これをとする) があることに注意が必要。 よって、1/3 ( 1 <a) 区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場 a <α 3 合分けを行う。 解答 f'(x)=3x²-4ax+a² =(3x-a)(x-a) f'(x)=0 とすると x= a 3 ゆえに " ここで, x=1/3以外にf(x)= 4 a>0であるから, f(x) の増減表f(x) は右のようになる。 練習 1213 a x (*) 4 f'(x) + 3 1≦a≦3のとき 430 a |極大] 4 5a³ 27 を満たすxの値を求めると 4 f(x)=27a²³5x³-2ax² + a²x=27a²=0 αから a |=0 x=1/04 であるから (x - ²)²(x - 3/3-a)= したがって、f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (α) は [1] 1</03 すなわちa>3のとき te 3 [2] 1/23 215/1/31 すなわち of sa≦3のとき [3] 0</1/23a <1 すなわち0<a<2のとき 以上から0<a<2,3<a のとき 1: aは正の定数とする。 関数f(x)=- ける最小値m(a) を求めよ。 a 0 極小 3 +: x=- x3 3 3 M(a)=f(1) M(a)=a²-2a+1 M(a)= 24/7a²³ phi M(a)=) M(a)=f(1) a 5+2ax²-2a²x f(x)=x(x2-2ax+α²) =x(x-a)^ から O (3)= (-3/a)² = 27ª² [1] YA [2] y Q3 O YA [3] y α3 -a²-2a+1 I -最大 II 1 a 3 3 a ax 1 a a²-2a+1 O a 3 注意 (*) 曲線 y=f(x)と直線y=27d" は、x=1/3の点において接するから、f(x)は (x-)- で割り切れる。このことを利用して因数分解している。 最大! a 4 a x ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2にお p.344 EX 138 331 6章 3 最大値・最小値、方程式・不等式 37

微分法を用いた証明の範囲で、自分なりにやってみたんですが、この証明は正しく論じれているでしょうか？ 増減表のところが間違ってる気がします、、、

Date O o 0 X f(x) = (x = (1 + x + = ²³ ) efice. ex f'(x) = ex- (1+x) > 0 x f'(x) f(x) 0 O + N <問4> X 2006= C² > 1+x] {#₁² Cx > 1 + x + x ² { # F ¹ A € F 2 A 2 N X700X7 2 (x>00² px > (+ x) 増減表よりx≧0においてf(x)は増加 ゆえに x>0のときf(x)=0 よって、 ex > 1 + x + x ² 2

(1)増減表で青い丸のところのプラマイはどうやって求められますか？

1 次の (1), (2) の不等式が成り立つことを証明せよ。 □(1) 0≦x≦1のとき、1-1/12/2 sei/sl-1/27 2-2 16 1

オリスタ138(1) なぜマーカー部分のような場合分けになるんですか？ [1]の増減表のf'(x)の＋、ーの考え方を教えてください。 あと、なぜ偶関数と分かるんですか？

138a, bを実数とする。 f(x)=2√1+x-ax2 とし, x についての方程式 f(x) = b を考える。 (1) a>0 のとき, 関数f(x) の最大値を求めよ。 (2) 方程式 f(x) = 6 の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (α, b) の 範囲を図示せよ。 [16 金沢大〕

(3)の問題の解説で疑問に思ったところがあります。3枚目の写真の赤線を引いたところなのですが、「x＝5が k≦x≦k+1の範囲の右端 」と限定されるのはなぜなのでしょうか。ただx＝5がk≦x≦k+1の範囲に含まれる場合ではなぜだめなのでしょうか。理由を解説して頂きたいです。... 続きを読む

** 18 er 3次関数f(x)=x+(4a-1)x2+bx+c (a,b,cは定数)があり, f(0) - 14, f'(2) = 0 を満た している。 (1) cの値を求めよ。 (2) また, bをaを用いて表せ。 また、この極大値が6とな で極大値をとるようなαの値の範囲を求めよ。 関数 f(x) がx=2 るとき, αの値を求めよ。 6151 (3) 関数 f(x) となるような定数kの値の範囲を求めよ。 x=2で極大値6をとるとする。 k≦x≦k+1 における関数 f(x) の最大値が6 $359 & COATOS 30 63 (00(S) (8)

4️⃣がf'(x)までは求められるのですが、増減表が書けません、、 やり方が間違っているのでしょうか？

3楕円x²+1/2(y-1)2=1の内部でy≧0 にある部分をx軸の周りに回転して得られる立体の体積を求めよ. 4 正の実数xに対してf( てf(x)=f(tlogt-t)dt とおく。 f(x) の最小値と, 最小値を与える x を 求め よ。 自然数nに対して, 関数f(x) を

この問題の解答で線の引いてあるところがわかりません。教えていただきたいです。よろしくお願いします

182 /3点で交わるものとする。 原点以外の交点のx座標をα,β (0<α<B)とする。 2つの曲線 C:y=x(x-3)2,C2:y=m'x (m は正の実数)は異なる (1) は, x="で極大値1, x=" C₁ で極小値をとる。 (2) m の値の範囲は << でありα=m,B="+m オ である。 (3) C と C2 で囲まれた2つの領域の面積が等しくなるのは,m= である。このとき, 2つの領域の面積の和は[ となる。 のとき [15 北海道薬大〕