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重要 例題 9 二項定理の利用
(1) 101100
の不位5桁を求めよ。
(2)295 900で割った余りを求めよ。
CHART OS
めたら付けを求めまり
OLUTION
(1,2ともに,まともに計算するのは大変。
次のように変形して、 二項定理を利用する。
(1) 101=(100+1) 100 = (1+102) 100
(2) 2945 (30-1)45=(−1+30)45
(1) 各項に含まれる 10 に着目し, 下位5桁に関係する箇所のみを考える。
(2) 30²900 であるから30" を作り出す。
解答
(1) 101100(100+1) 100=(1+102)100
=1+100C1・102+100C2・10+100C3・10° + 100C4 ・10°+.･・・
+10200
=1+100C1・10°+100C2・10+10° (100C3 +100C4・102+….…….. +10194)
ここで, α=100C3+ 100C4 ・102+･･････ + 10194 とおくと αは自然数で
101100=1+10000+49500000+10°a
=10001+49500000 +10°α
=10001+10 (495+10a)
10 (495+10a) の下位5桁はすべて 0 である。
よって, 101100 の下位 5桁は
10001
(2) 2945 (30−1)45=(−1+30) 45
#3 (21-1 + 45 x 30
2700
=(-1)45+45C1(-1)14・30-
30 - JC (-1)
-1) 43.302+45C3(-1) 42.30)
OFR 2143
●第3項以降の項はすべて 302=900 で割り切れる。
また, (-1)^5=-1, (-1)^=1 であるから
1+45・1・30=1349=900・1+449 ok
よって, 2945 900で割った余りは 449
34
基本 4
+...... +45C44 (1) ・304+3045)
19
INFORMATION
上と同じ考え方で,複雑な計算を暗算で行うことができる。 例えば,9992 は
9992(1000-1)=1000000-2000+1=998001,4989×5011
は
1章
◆第1項と第2項の和は
900 より大きい。
3次式の展開と因数
4989×5011=(5000-11)×(5000+11)=5000²−11=25000000-121=24999879 と計算
