漸化式の変形の仕方？が分かりません💦

43 次の式で定められる数列{an} の一般項を求め,その極限 $30 *(1) a₁ = 1, an+1=an+6 (n = 1, 2, 3, ....) (2) a₁ = 1, an+1 = *(3) a₁ = 0, an+1 = SPIRAL 3' 3 an+1 (n = 1, 2, 3, ) [ an+3 (n=1, 2, 3,.....) - 1 2

1行目の変形の仕方を教えてください🙏

5 2 an+3 (n=1, 2, 3, ...) で定められる数列{an}につい 例題 a1=3, an+1 = 1 て, liman を求めよ。 81U 数 視点 一般項an は,どのような式で表されるだろうか。 解 与えられた漸化式を変形すると an+1-6 = (an -6) 2 ここで, α-63-6=-3 であるから, 数列{an-6}は初項-3, 公比 1.2 の等比数列である。 2 10 よって an-6= 3 1n-1 したがって an=6-3. 1 n-1 2 n-1 lim == =0 であるから n→∞ 2 liman = 6 n→∞

ルーズリーフのやり方でやったんですけど、そっからどうすればわからなくて、解答と何が違うのかも含めて答えてくれると嬉しいです！

26 漸化式と極限(3) ・・・ 分数形 ... 数列{an} が α1=3, An+1= 3an-4 an-1 によって定められるとき [類 東京女子大] (1) bn = 1 An-2 とおくとき, bn+1, bn の関係式を求めよ。 (2) 数列{an} の一般項を求めよ。 (3) liman を求めよ。 n→∞ p.36 まとめ, 基本 26 指針 針 (1) おき換えの式bm= 1 an-2 ①の an-2に注目。 漸化式から bn+1 (= 1 an+1-2 の形を作り出すために, 漸化式の両辺から2を引いてみる。 なお,①のおき換えが与えられているから, an≠2としてよい。 (2) まず (1) の結果から一般項bnをnで表す。 (1) 漸化式から an+1-2= 3an-4 解答 -2 an-1 検討 ゆえに an-2 an+1-2= an-1 両辺の逆数をとって 1 an-1 An+1-2 An-2 an+1= SE 分数形の漸化式について 一般項を求める方法は, p.36 の ⑥参照。 rants panta そのとき,特 1 1 よって = +1 an+1-2 an-2 性方程式 x= rxts の解 px+q したがって bn+1=6n+1 がx=α (重解)ならば, (2) (1)より, 数列 {bn} は初項b1=1, 公差1の等差数列で bm= あるから b=1+(n-1)・1=n 1 (または an-a bn=an-a) とおくと, よってie an- (3) liman=lim n→∞ n- 1 1 +2=-+2 = 1 bn +2=2 -2)= n $8 般項 αn が求められる。 CTUL 1 |bn= an-2 から -milan- -2= 1 bn

漸化式と数列の極限です！ 急に二次方程式の話が出てきて混乱してます^^; 初っ端からよくわからないので、教えてください！！ よろしくお願いします！

例題 漸化式と数列の極限 (1) 3 次の漸化式で定められる数列{a}の極限を調べよ。 a1= 1, a2= 3,30n+2= 4an+1-an (n=1,2,3, ...) 解 漸化式 30m+2=4Qn+1 -am は, 2次方程式 3x=4x-1 の解x = 1, 1 3 を用いて,次 の2通りに変形できる。 1 Qn+2an+1 = -(an+1) -an) ・① 3 1 1 an+2 an+1 = an+1 an 3 3 EA ①より,数列{an+1-an}は,初項 da-a1 = 3-1=2,公比 1.2 の等比数列であるから n-1 1 an+1-an=2 3 ③ 1 1 a1= 3- 3 3 ・1= 公比1の等比数列 ②より、数列{ame-1/2an} は、初項42- 8 3 であるから 1 8 an+1- an = 3 3 2 8 ④ ③ より an = ・2・ 3 3 (1/3) よって an=4- lim (1) *-* n-2 n-1 3 = 0 であるから liman=4 11-00 ④

（2）の解説において n≧2^mとすると、というのはただの仮定ですよね？ nが2^mより小さくなる時のことは考えなくていいんですか？

[広島大] 基本100 重要 例題 すべての自然数nに対して, 2" n (1) k=1 k (2) 無限級数1+ (2) 数列 指針▷ (1) 数学的帰納法によって証明する。 1 2 3 1 + + することの証明 +1が成り立つことを証明せよ。 213 + n ･･･････ は発散することを証明せよ。 基本 117, 重要 126 2m n2 とすると k= を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 は0に収束するから,p.201 基本例題 117 のように、199 基本事項 ②② 4章 15 ここで,m→∞のときn→∞となる。 5無限級数 計算すると,等 はさみうちの 比) II) an-br る。 内法を利用 ■れる。 計算 解答 2" (1) ・+1 k=1 k 2 ① とする。 [1] n=1のとき 1/2=1+1/2 k=1k = +1 2 よって,①は成り立つ。 [2]=mmは自然数)のとき、①が成り立つと仮定すると1/3+1 このとき 2m+1 k=1k = = 2m 2m+1 1 + 1 k=1k k=2+1 k 2 (1+1)+2+1+2+2+2 k -nxn 1-x) 2x2+1 2m+1=2m2=2"+2" 2"+2"_miei-9200 =m+ 1 1 1 +1+ + + 2m+1 2m+2 m 2 +1 1> 2m+k 2m+1 2 (k=1,2, 1+1.2mm+1 +1+ > よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。 0 1 2m+2m (= 2m+1 2m-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。mil I (2) Sm=211 とおく。2" とすると,(1)から 2m m Sn≥ +1 k=1 k k=1 ここで,m→∞のときn→∞ で lim am (+1)=0 よって limSn=8 →∞ n→∞ 00 したがっては発散する。 lan≦bn でliman=∞⇒limbn=∞ (p.174 基本事項 ③ ②) 81U 81U n=1 n Job

なぜ1も範囲に含まれるのですか？1だったら0には収束しなくなってしまうのではないのですか？

漸化式できまる数列の極限 II 2 無限数列{a}を(&l an2-1 ay=c, an+1 = n x (Izu) | で定める。ここでcは定数とする. (1)c=2のとき,一般項 an を求めよ. 示し >0 (2)c≧2ならば, lima となることを示せ. n→∞ = (3)c=√2 のとき, liman の値を求めよ. n→∞ のと い (徳島) [千葉大]

（1）の誘導無しで（3）まで出したいのですがどの様に考えたらbn=an-4の置き換えが可能になるのか教えて頂きたいです。

a1=5, an+1= 5an-16 097 an-3 で定められる数列{an}について 練習 (1)bn=an-4とおくとき, bn+1 を bn で表せ。 (2) 数列{a} の一般項を求めよ。 (3) liman を求めよ。 n→∞ (1) (1) an+1= 5an-16 an-3 ① とする。 b=an-4から an=bn+4,an+1=bn+1+4人 ①に代入してbn+1+4= 1-2=x よって 0 = 5(bn+4)-16 5bn +4 bn+4-3 5bn+4-4(bn+1) bn+1= = bn = bn+1 b₂+1 bn+1 2 2b1=α-4=1>0であるから, ② より すべてのnについて 4 練 [類 岐阜大 〕 HINT (1) an=bn+4を 与式に代入して整理。 (2) まず, 6>0 を示し, (1) の漸化式の逆数をと る。 ←bn+1= 56n+4 bn+1 -4 b>0である。 1 1 ゆえに、②の両辺の逆数をとると ・+1 ←6k>0と仮定すると bk+1= bk ->0 bk+1 bn+1 bn 6 1 0 であるから, すべ よって、数列{ // } は初項 / / -=1, 公差1の等差数列で b1 てのnについて 6>0 1 1 =1+(n-1)・1=n すなわち bm= n bnAPA 1 an-4= n ( =BPltan よって =CQtan 6-11- liman lim (4+ n→∞ = n→∞ +1/12)=4 n an=4+1 n -)++-* ← n ゆえに (3)(2)から 1→0

(2) 解答と解き方が違うのですがこれでも合ってますか？ はさみうちの原理を使わないとだめですか？

練習 次の極限を求めよ。 2-2 ③ 105 1 nл (1) lim -sin (2) lim + +...+ nn+1 2 (n+1)2 (n+2)2 (3) lim + +...+ 180 n2+1 √n²+2 √n²+n A (2n)2 HINT はさみうちの原理を利用。 (2),(3)については, k = 1, 2, ...... nに対して } 4章 練習 (2) (3) (n+k)² n' √n²+n = √n²+k く が成り立つことを利用。 n nπ 限 注意 (1) -1≦sin ≦1であるから liml n→∞ 2 ≤ n+1 n+1 (-21-1) = 0, lim- n+1 1 (2) 1 2 (n+k)² n² an= 1 2 1 nn+1 1 = nπ 1 -sin- S 2 n+1 = 0 であるから lim -sinm =0 n→∞n+1 2 (k=1,2, ..., n) であるから, (n+1) (n+2)2 2 n² •n= 1 1 + +…+ とおくと (2n) 2 1 1 an<- 3 さ よって 1 0<an< 1 n lim=0であるから non n ←-1≤sin≤10 辺を n+1で割る。 sor ←はさみうちの原理。 ←0<n²<(n+k)² =("S-"E)mil (S) I-g mil mil (8) + liman=0 ←はさみうちの原理。 n→∞

(2) マーカーの部分の意味がわかりません。 解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 105 数列の極限 (4) (1) 極限 lim COS Nπ を求めよ。 81U n 1 (2) an= + n2+1 n2+2 ++ 1 … はさみうちの原理10000 *** 183 4章 p.174 基本事項] 14 n²+n とするとき, lima を求めよ。 n18 指針 極限が直接求めにくい場合は, はさみうちの原理 の利用を考える。 liman=limbn=α はさみうちの原理 すべてのnについて an≧m≦b, のとき) 818 818 ならば limcn=α 118 ~ (不等式の等号がなくても成立) COS Nд (1) an≤ 1 n (2) n²+k n' bn の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos0≦1 を利用。 A (k=1, 2,...,n)に着目して, am の各項を 12/27 におき換えてみる。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち n² 8508 (1) 数列の極限 1 COS Nπ 1 ・ 【各辺をnで割る。 n n n lim 常にCOS Nπ =0 はさみうちの原理。 n→∞ n -1≦cosnz≦1であるから 解答 (1) ! lim (2) 8012 1 1 1/2)=0,lim = 0 であるから n 1 n²+k an = n 1 non (k=1, 2,...,n) であるから +: .... + n²+n 1 n= 2 n° n 1 ・+ = 1 n 2 lim- = 0 であるから n→∞n liman=0 n→∞ <n²+k>n²> 0 2 各項を12でおき換える。 10≦liman≦0 12100 <=0 1 + -1 n2+2 1 + 2 2 n n 1 よって 0<an< n

なぜ有理化しているんですか

46 重要 例題2 漸化式と極限 (はさみうち) 00000 {an} について,次の(1),(2),(3) を示せ。 0<a<3,+1=1+√1+an (n=1,2,3, …………) によって定められる数列 [類 神戸大] (1) 0<an 3 (2) 3-an+1 < (3-an) 1 3 (3) liman=3 n→∞ % p.33 基本事項 3.基本15 CHART & THINKING 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 漸化式を変形して,一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小間ごとに,どのような方針を とればよいのか考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから,数学的帰納法を利用。 そのために, 何 を仮定すればよいだろうか? (2)(1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。 (3)(1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列 {3-αn} の極限を 求めればよい。 はさみうちの原理 すべての自然数nについて an ≦ のとき liman=limbn=α ならば limcn=α 818 n18 →∞ (2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。