どうしてXの区間にどちらも＝がついてるんですか？

基本の 例題 次の関数の増減を調べよ。 また, 極値を求めよ。 209 3次関数の増減, 極値 3 00000 1 (2) y=-3x²+x²-x+2 P.334 基本事項 1 2 重要 215 (1) y=x+3x2-9x 指針 . 関数の増減 極値の問題では, y' の符号を調べる (増減表を作る)。 ① 導関数y を求め, 方程式 y = 0 の実数解を求める。 ② ①で求めたxの値の前後で, 導関数yの符号の変化を調べる。 なお,増減表の作り方については, p.337 のズーム UP も参照。 CHART 増減 極値 y' の符号の変化を調べる 増減表の作成 (1)y=3x2+6x-9 =3(x2+2x-3) 解答 =3(x+3)(x-1) y = 0 とすると x=-3, 1 yの増減表は右のようになる。 XC ... -3 ... 1 y' + 0 0 + |極大| 極小 y 27 -5 y' の符号を調べるのに,次の ような簡単なグラフをかくと よい。 (1) y'=3(x+3)(x-1) + よって区間 x≦-3, 1≦xで単調に増加, (*) 区間 -3≦x≦1で単調に減少する。 S また、x=-3で極大値 27, x=1で極小値 -5 をとる。 【注音」 (*)増加・減少のxの値の範囲を答えるときけ 反問 (2)y'=(x-1)2 x

この問題でグラフを書くとなっているのですが 3次関数のグラフって書けますか?だいたいって感じですか？ 微分してもうまくいかなくて💦 簡単なグラフだったらすみません、、

0000 広めよ。 めよ。 (2)東京電機大 245 246 重要 257 係系に注意 YA 2 151 BA 基本 251 3次曲線と接線の間の面積 「もの面積Sを求めよ。 393 00000 曲線y=x-5x2+2x+6とその曲線上の点(3, -6) における接線で囲まれた図 | 指針 面積を求める方針は 1 グラフをかく ・基本 248 250 重要 252 2 積分区間の決定 ③上下関係に注意 また、積分の計算においては,次のことを利用するとよい。 本間では,まず接線の方程式を求め, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。 3次曲線y=f(x)(x3の係数がα) と直線y=g(x) がx=αで接するとき、等式 f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β) が成り立つ。 y=3x²-10x+2であるから, 接線 の方程式は 解答 ERUT SU (-6)=(3・32-10・3+2)(x-3) 曲線 y=f(x) 上の点 (α, f(a)) における接線 の方程式は y-f(a) f'(a)(x-a) 0 すなわち y=-x-3 3 0 x 2 線の概形について _342 参照。 ここで 値を求める必要は この接線と曲線の共有点のx座標 は,x-5x2+2x+6=-x-3の解 である。 -6 これからx-5x2+3x+9=0(*) ゆえに (x-3)(x+1)=0 よって x=3,2-10 y=x-4xにつ =x(x+2)(x-2) 由との交点のx座 x=0, ±2 線 y=3x2 は原点 する, 下に凸の放 したがって図から,求める面積は S={(x-5x2+2x+6)-(-x-3)}dx =S(x-3)(x+1)dx 左辺が (x-3) を因数に もつことに注意して因数 分解。 1-5 3 93 3-6 -9 1 -2 -3 23 1 33 03 1 1 0 ( 7 7章 回新 =S,(x-3)"{(x-3)+4}dx=S{(x-3)"'+4(x-3)")dx(xa)(x-3) x- 4 13 313 -3) 3- +4 3 -1 -64+- == 256 64 3 = =(x-2)^{(x-2)-(B-α)} 3 f(x-a) dx= (x-a)*+1 n+1 +C m 積

Ⅳの（3）でd/３までの釣り合いが安定でそれより大きくなると不安定になる理由がわからないです。教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

図 2-3 (a) のように, 前間と同じ平行板コンデンサーの極板P を自然長 ばね定数の絶縁体の軽い ばねに接続し ばねの他端を壁に固定した. また, 極板 P2 を壁から距離 l+dの位置に固定した (極板の厚さ は無視できる)、 極板 P1 P2 には, それぞれ電荷 +Q (Q > 0), -Qが蓄えられている。 また, 壁とばねの静 電誘導による電荷は無視できるものとする。 質量mの極板P は極板P と平行な位置関係を保って左右にな めらかに動くことができるものとする。 極板P1 に力を加えて壁から距離の位置に保持した。 極板P1 と極板 P2の間の電場の大きさをE。 とする. 図2-3 (b) のように極板P」を壁から距離(+ェの位置にゆっくりと移動した。 極板 P, にばねからはたら く力と極板間の静電気力がつりあうときの位置を Q, Fo, k, m, co のうち必要な記号を用いて表せ、ただ し, 0<x<d とする. ⅣV 次に, P1 を図2-3(a) の位置に戻し、 図2-4 (a)のようにスイッチと電圧Vo(> 0)の直流電源に接続し た。その後、スイッチを閉じ, 極板 P, に力を加えて図2-4(b) のように壁から距離+æの位置にゆっくり と移動した(ただし<z<dとする)。その後,極板 P, を移動するために加えていた力をなくした。導線が -Kx Pl + Q 0000000000 d (a) 10000000 極板P が及ぼす力は考えない (1) 極板 P1 が壁から距離1+の位置にあるときに極板P, にはたらく力F (x) を Vo, S, d, z, k, m, Eo のうち必要な記号を用いて表せ。 ただし, 極板 P1 から P2 に向かう向きを正とする. (2) 極板 P1 にはたらくばねからの力と極板間の静電気力がつりあう位置が存在するためには, Vo はある上 限値Vm より小さくなければならない。このVm を S, d, k, m, so のうち必要な記号を用いて表せ. (3) Vo Vmの場合に存在するつりあいの安定性について説明せよ。 ただし, 「a <æ <bの範囲に存在す るつりあいは安定(または不安定)」 という形式で,存在するすべてのつりあいについて言及せよ. Foyd FEQ P₁ P2 +Q 0000000000 HI l+x (b) ・ 114471 9 図2-3 P₁ P₂ 0000000000 V₁ (a) 図2-4 l+x d-x GV (b) 萬 Fol F:EG

①式が②式となる理由がわからないです😭3はどこに消えたのですか？

E 92 極値をもつための条件 270 関数f(x)=x+3(a-1)x2+3(a+1)x+2 が極値をもつよう なαの値の範囲を求めよ. 精講 極値をもつ状態の1例として, 89を見てください。 増減表の一番 上の欄にxの値が2つでてきています。これが3次関数が極値をも っている状態です。いいかえると、f'(x)=0 が異なる2つの実数 解をもてばよいということです。 解答 f'(x)=3x²+6(a-1)+3(a+1)=3{z+2(a-1)x+(a+1)} よって、f(x) が極値をもつ条件は, r'+2(a-1)x+(a+1)=が異なる2つの実数解をもつことである. ② (a-1)-(a+1)=q-3a=a(a-3) 判別式をDとすると であるからα(a-3)>0より <D> が必要十分 ar a <0,3<a たとえば a=0 のとき 参考 I 771 (f'(x) =0 が重解をもつとき) f'(x) + 増減は右表のようになり, f(x) 7 103 + 極値をもっていません. だから, 極値をもたない条件は, D≦0 です. HURHUT

なんでx＝3分のa以外にf(x)＝27分の4aの３乗を満たすxがあるって分かるんですか？

354 |基本例題 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小 αを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+a'x の 0≦x≦1 における最大 値 M (α) を求めよ。 立命館大 ] 00000 基本 219 224 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の 端での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう a y になる (原点を通る)。 ここで, x=- 以外にf(x)=(1/2) を 満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。 3 よって、1/3,α (1/3<α)が区間0≦x≦1に含まれるかどうか 3' a で場合分けを行う。 f'(x)=3x2-4ax+α²=(3x-a)(x-a) 解答 f'(x)=0とすると x=131 a a 0 a a ay 3 + 0 まずは,f'(x) =0を満た すxの値を調べ, 増減表 をかく。 a > 0 であるから, f(x) の増減表は次のようになる。 <a>0 から x [2] 2a3のと 4 a f(x)はx=33 M(a)= 4 [3] 0<a< <a< 3 の 4 f(x) は x= 以上から M(a P Te a .... a ... 0<<a 3 3 - 20 + Pa S(0)\( (0) f'(x) + 0 f(x) 極大 極小 ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)から 2 4 (3)=(-a)=a³, 1(a)=0 -27 と直線 y=f(x) 大量y=1/27 1は、x=1/3の =1/3以外にf(x)=27 4 点において接するから、 αを満たすxの値を求めると, 4 f(x) = 12/27 からおけるVの as- x-2ax2+α2x- 4 ゆえに(x-1)(x1/30) 05/5 270=0とな S (*) 11001-2a a² =0 ama 5 4 Q2 3 9 27 x= 3 であるから x=- a 4 3 5 4 a 1- うになる。 よって, f(x)の0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ 201 -a 92 0 3 ¥ 9 a 4 3 9 a 3 [1] 1< // すなわち a>3のとき,山 4 1- 0 39 f(x) はx=1で最大となり a2-2a+1 M(a)=f(1) ☆最大 -- 10 la a x 3 ●指針」 ★の方針。 [1]は区間に極値をとる xの値を含まず、区間の 右端で最大となる場合。 練習 ③223 alt f(x)-a³ 12(x-1) 1で割り切れる。このこと を利用して因数分解する とよい。 63 13 3次関数の 検討 p.344 の参 この値を調 2つの x 座標 よって ½ として

なんで重解または虚数解を持つ時は3つの実数解を持たないことになるんですか？

重要 例題 218 4次関数が極大値をもたない条件 00000 関数f(x)=x-8x3+18kx2 が極大値をもたないとき, 定数kの値の範囲を求め あ xε=y (s) 4次関数 f(x)がx=pで極大値をもつ [福島大] 基本 211 214 x 指針 x=pの前後で3次関数 f'(x)の符号が正から負に変わる f'(x) + であるから, f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を 考える。 3次関数f'(x) のグラフとx軸の上下関係をイメー Þ 0 f(x) 極大 ジするとよい。なお, 解答の右横の図は y=x(x2-6x+9k) のグラフである。 f'(x)=4x-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k) 解の前後で f'(x) の符号が正から負に変わらないことであ る。このことは、f'(x)のxの係数は正であるから,3次 方程式 f'(x)=0が異なる3つの実数解をもたないことと 同じである。 解答 f(x) が極大値をもたないための条件は、f'(x)=0の実数 f'(x)=0とするとx=0 または x2-6x+9k=0 よって、 求める条件は, x2-6x+9k=0が k≥1 YA k>1 k=1 3 x 347 |k=0 YA [1] 重解または虚数解をもつ [2] x=0 を解にもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D≤0 D =(-3)-9k=9(1-k) であるから 1-k≤0 よっての k≧12枚 [2] x2-6x+9k=0に x=0を代入すると k=0 したがって k=0. k≧1 x 6 174 関数 f(x) 「4次の係数は正] に対し, f'(x) = 0 は 章 3E 3 関

数学II、微分の問題についての質問なのですが、下の写真の赤ボールペンで線を引いたところの、f'(x)が、なぜそうすると式が成り立つのか分かりません。下のf'(x)を用いた定積分の式は、何を表しているのか教えて頂きたいです🙇‍♀️

346 重要 217 3次関数の極大値と極小値の差 0000 |関数f(x)=x6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき、定数の 値を求めよ。 X=8で極小値をとるとすると ページの例題と同じ方針で進める。x=αで極大値 x= f(a) f(B)を実際に求めるのは面倒なので、f(α)(B)をα-Bat Bag 大値と極小値の差が4f(α)(B)=4 (B)-(+)-4αβ を利用することで, a+B, aBのみで表すことができる。 (x)=3x²-12x+3a 解答 f(x)は極大値と極小値をとるから 2次方程式(x)=0 すなわち3x12x+3a= 0 ...... ① は異なる2つの実数 解α, β (a<β) をもつ。 よって、 ①の判別式をDとすると D>0 D=(-6)~3(3a)=9(4-a)であるから4-0 4 したがって a<4...... ② f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=αで極大 x=βで極小となる。 f(a)-f(B)=(a³-ß³)-6(a²-B²)+3a (a-B) =(a-B){ (a2+αB+B2)-6(a+β)+3a} =(a-B){ (a+B)-αB-6(a+β)+3a} ①で,解と係数の関係より よって a+β=4, aβ=a a-B=-2√4-a (a-B)=(a+B)2-4aβ=42-4・a=4(4-a) <Bより、α-β< 0 であるから ゆえに f(α)-f(B)=-2√4-a (42-a-6・4+3a) 今回は差を考えるので、 x <βと定める。 α B... f'(x) + 0 (x) 極大極小 0 3次関数が極値をもつとき 極大値 > 極小値 ②から 4-a>0 よって√4-a>0 =2√4-a{-2(4-α)} =4(√4-a)³ 44-a=(√4-a)² f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4 すなわち よって (√4-a)³=1 √4-a=1 Aa=1 の両辺を2乗し ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。 て解く。 定積分を用いた計算方法 自 討 f(α)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 (a)-f(8)=f(x)dx=3(x-a)(x-B)dx=3{-1/(a-B)"} ←p.377 基本例題 240 (1) NE これにα-β-2√4-a を代入して,f(a)-f(B)=4(√4-a) となる。 の公式を利用。 関数f(x)=x+ax2+bx+c がx=αで極大値, x=βで極小値をとるとき, 17 f(a)-f(B)=1/2(B-a)となることを示せ。 [類 名古屋大]

なぜ1の時に極大となることがわかるのですか？

-4) 10811 13 関数 f(x)=(t-1)(t-2)dt の極大値を求めよ。 途中の計算や考え方もかいておくこと.] tx1=5 両辺をえで微分するとfan)=(x-1)(x-2) {(x)=0とするとx=1.2 3=3 オートで極となるので 極大化に f(1) - S, (t-1/4-2) dt = d 4. 6 x=1で極大口をとる

なぜ（x−a/3）の2乗で割り切れるのでしょうか？（x−a/3）で割り切れるのはわかります。でも（x−4/3a）の２乗になる時もあると思うんですが、、 計算するまで分かんなくないですか、、教えてくださいお願いします。

基本例 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小 αを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+ax≦x≦1 における最大 基本 219 重要 224 値 M (α) を求めよ。 [類 立命館大 ] 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で,極値と区間の 端での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう になる(原点を通る)。ここで,x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を 満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。 よって、1/3,α (1/3 <α)が区間 0≦x≦1に含まれるかどうか で場合分けを行う。 YA O Halm aax 3 f'(x)=3x2-4ax+α²=(3x-a)(x-a) 解答 f'(x) = 0 とすると a x= a α > 0 であるから, f(x) の増減表は次のようになる。 a x ... 2-3 f'(x) + 0 a 0 +(0) f(x) 極大 極小>>(0) ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)' から 2 2 4 ƒ(3) = (-a)² = 17a³, ƒ(a)=0 x=1/3以外にf(x)=1/27 を満たすxの値を求めると, f(x)=から 4 x-2ax2+ax- x-a-03 まずは, f'(x)=0を満た すxの値を調べ, 増減表 をかく。 <a>0 から 0<<a 3 * 曲線 y=f(x) と直線 y=は,x=1/2の 点において接するから, f(x)/(x) で割り切れる。このこと を利用して因数分解する とよい。 23 27 ゆえに (1/3)(x-/1/30) 0 (*) 1-0 1-2a a² 1283 aa 5 a² 3 9 27 4 a³ xキ x= 1/32 であるから x= a 5 4 a 1 a 02 0 よって, f(x) 0≦x≦1における最大値M (α) は,次のよ うになる。 3 9 a 4 92 3 9 4 1 [1] 1</1/3 すなわち α>3のとき,[1] a 0 3 f(x) は x=1で最大となり M(a)=f(1) a2-2a+1 -最大 指針」 [1] は区間に極値をとる xの値を含まず,区間の 右端で最大となる場合。 ★の方針。 O 0

答えもないんですけどこれ至急といて欲しいです😭😭😭何回やってもaが分数にならなくて😭

【2】3次関数y=ax+bx+cx+dx=1で極大値3をとり、2で 極小値-6をとる、 このとき、定数a,b,c,dの値はそれぞれ 10 1.0=67c= 819 d = 11 である。