例題22
単位円に内接する正多角形
複素数平面上において,原点Oを中心とする半径
1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を,
左回りにる1, 22, 23, 24, 25,Z6 とする。
Y4
22
23
21
+isin号とする。
このとき,次の間いに答えよ。
(1) 2」+22+23+ z4+ 25+26の値を求めよ。
24
また,a=cos
3
3
26
25
)(1-a)(1-a)(1-α)=6
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を証明せよ。
解答
(1) 点21, 22,……, 26は単位円周上の6等分点である。
π
また,α=cos
3
+isin は,点々を原点Oのまわり
に今だけ回転させる複素数であるから,
22= Q2」
23=Q22=Q'z」
26=Q25=Q'」
となるので、
2」+22+ 23+ 24+ zs+ 26
=2」+az」+e'z」+«*z」+«*z」+«°z
のは,初頂 21, 公比αの等比数列の初項から第6項ま
での和である。
αキ1 より,
初項 21,公比a
(αキ1)の等比数列
の初項から第n項
までの和は,
2(1-a")
1-a
2(1-)
1-a
2」+22+23+24+ 25+ 26=
となる。
ここで,
-(co+sin)
=COS
書込開始
=COs 2元+isin2π
=1
よって、
2」+22+ 23+z4+ z5+ 26=0
