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基本例題 106 約数の個数と総和
(1) 360 の正の約数の個数と、 正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。
(2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
p.468 基本事項
(3) 56の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数nを求めよ。
指針▷ 約数の個数総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。
自然数Nの素因数分解がN=pq…..… となるとき
正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)......
EONORA (1+p+p²+.+pª)(1+g+q²+···+q°)(1+r+r³+ + ²).....
p. q. 7. ・は素数。
偶数は2の
2.gy...... (a≧1,6 ≧0,c≧0... ,, …. は奇数の素数 素数のうち、
(1) 上のNが2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは
i
と表され,
1+ の部分がない。
その総和は (2+2²++2ª)(1+g+g²+ +g³)(1+r+r²+...+)...
を利用し,の方程式を作る。
(2)
******
(3) 正の約数の個数 15を積で表し、 指数となる α, b, ......
の値を決めるとよい。
15 を積で表すと, 15 153であるから, nは1g - または-13-1 の形。
【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
fgore の正の約数の個数は (a+1) (+1)(c+1) (p,q,r は素数
解答
(1) 360=232-5であるから,正の約数の個数は
7
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
積の法則を利用しても求
られる (p.309 参照)。
(2+22+2°)(1+3+32)(1+5)=14・13・6=1092
(2) 12"=(223)" =22".3" であるから 12" の正の約数が28個 (ab)"=a"b", (a")"=a
であるための条件は (2n+1)(n+1)=28
のところを2mmと
