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物理 高校生

イの㈡について Z≠1となっていますが、複素数は実数も含むならなぜこのようなことが言えるのでしょうか??教えて下さい!

51のn乗根- (東北学院大·文,教養) (イ)複素数2はz%=cos72°+isin72° とする。 O(1)z"=1となる最小の自然数nはn= である。 (2) 2+z+2?+z+1=[ , cos72°+cos144°= である。 (西南学院大·文) z"=1を満たすa (=1のn乗根) 2"ー1=(z-1)(2ガ-1+2"-2+……+z+1) となるから、2"=1のときえキ1ならば、2"-1+z"-2+…+z+1=0を満たす。 次に,ド、モアブルの定理を用いて, z"=1 を解いてみよう. z"=1により, |2|*=|2"|=1であるから, |2|=1であり, z=cos0+isin0 (0名0<2x)と おける。ド·モアブルの定理により, z”を計算する。 2"=1のとき,cosn0+isinn0=1 ; n0=2x×k (0Sn0<2x×nにより, k=0, 1, 2, …, n-1) 2サー1を因数分解すると, 22 21 |20 1℃ 23 24 25 . cos n0=1, sinn0=0 n=6の場合 0を求め,1のn乗根は, 2k=Cos 2元 -× n 2元 k+isin( ×k)(k=0, 1, 2, ……, n-1) のn個 n 点2は,図のように点1を1つの頂点とする正n角形の n個の頂点になっている。 ■解答 (ア)a-1=0により, (α-1) (α*+a°+α?+a+1)=0 α=1のときA=24=16 である. 以下, αキ1のときとする。 a=1のとき, a8=a".α°=a°であるから, ■Aを(ひとまずはα"=1を使わ ず)展開すると, 1+a+a?+…+a'5 ここでa=1を使うと 1+a+a?+α°+a* +(1+a+a?+α3+α*) =(1+a+a?+a®) (1+α°+α*+a") (: α'=1により α'=α°) αキ1とのにより, 1+α+α°+α3+a*=0… ② であるから, A=(-a^) (-a)=α"=1 (イ)(1) z"=cos (72°×n)+isin(72°×n)… 0 であるから, 2"=1 → 72°×nが360°の整数倍 → nが5の整数倍 よって,求めるnは, n=5 (2) 2-1=0により, (z-1)(2+2°+z?+z+1)=0 2キ1により,ztz°+z?+zt130 これに①を代入する. 実部%3D0 である, 72°×5=360° に注意して, cos(72°×4)+cos (72°×3) +cos (72°×2)+cos72°+1=0 cos(-72°) +cos(-72°×2) +cos (72°×2) +cos72°+1=0 となるので,αキ1のとき②から A=1 94 21 22 72° 23 . 2cos72°+2cos(72°×2)+1=0 cos72°+cos144°=- 2 5演習題(解答は p.66) 1) 複素数zが, z°=1, zキ1を満たすとき,(1-z)(1-z?)=[ア], 1 11 イ」 1-z 1-22 2)複素数zが, z5=1, zキ1 を満たすとき,(1-z)(1-2?)(1ー)(1-7)

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