A
重要 例題249
式の証明(定積分の利用)
nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
log(n+1)<1+-
1
1
+
+ ・+
3
<logn+1
n
基本245 248 演習254
指針 数列の和 1+
1
+
+
・+
2
3
n
1
すなわち, 曲線 y=
XC
証明する。
!
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を
は簡単な式で表されない。 そこで, 積分の助けを借りる。
(
答
自然数kに対して, k≦x≦k+1のとき
ya
1<
1
1 1
x
S
I
3k+1
ko
式
1
1
1
常に+1
または
ではない
XC
xC
k
•k+1/dx.
k+1dx
k+1 dx
(*+1 dx
x
-
から
0 123…nt x
k+i
x
k
n-1_n+1
k+1
よって方
•k+1dx
0
k
k+1
x
1x
I
k+1dx
1
>
式イ
UR x
Muse
n
k+1
n
k
<立
•k+1dx
S+
k=1k
x
n+1dx
Aから
<
B
n 1
k=1
k
* S** dx = S*** dx® - [logx] """
k=1Jk
XC
=S" =[10gx
XC
gol = log(n+1)
1
+
log(n+1)<1+ 3
0 123.n
n-1
n
n-1ck+1 dx
①
x
Ak=1,2,
☐ 1/1
して辺々を加える。
•n+1
●fi• +S+..+S"
=S+'
でk=1,2,
として辺々を加える
1
であるから
十
+
1k+10
•k+1 dx
n-1
1
Cから
<
①
k=1 k+1
k=1Jk
x
1
Cloan