●【数学的帰納法による不等式の証明]
nが4以上の自然数のとき、次の不等式を証明してみよう。
2">3n
入よう
証明 与えられた不等式を①とおく。
= (I) n=4のとき,
(左辺)=2*=16, (右辺)=3·4=12
であるから,①は成り立つ。
(I) k24 として、, n=k のとき,①が成り立つと仮定すると、
2*>3k
2
n=k+1 のとき, 2*+1>3(k+1) ……3
が成り立つことを示せばよい。
n=k+1 のとき, ②より,
(3の左辺)-(3の右辺)=2*+1 _3(k+1)
2,2-3k-3
|②を利用
$2-3k-3k-3|
| 3(k-1)>0
k24 より、
したがって、
k-1>0
よって,n=k+1 のときにも①は成り立つ。
(1), (I)より,①は4以上の自然数nについて成り立つ。
