例題 99
直線から切りとる線分の長さ
放物線 y=x"-6x+10 が直線 y=3x+k から切りとる線分の長さが
10 であるとき, 定数kの値を求めよ。
(大阪経済大)
放物線と直線の交点を A(a, a:), B(b1, ba) とすると,
線分 ABの長さが切りとる線分の長さである、
線分 ABは,右の図のようになり, A, Bの座標がわか
れば、あとは直線の傾きを利用するとよい。
まずは, 与えられた放物線と直線の交点の座標を求め
考え方」
b2
a2
A
トカーa
る。
aNo
b.
解答 x-6x+10=3x+k とおくと,
x°-9x+10-k=0 ……1D
放物線と直線。
式より, yを
①の判別式をDとすると,
D>0
る。
D=(-9)?-4(10-k)=41+4k
41
したがって、
41+4k>0
4
また,①を解くと,
9土/4k+41
2
x=
交点のx座
ここで, 放物線と直線の交点を
A(a, 3a+k), B(b, 36+k) (αくb)
とおき, C(b, 3a+k) とおくと,
A, B, Cに
49
36+A--
AC=b-a
9+V4k+41
9-14k+41
314k+41
2
2
3a+k--
ここで, AB=V/10 であり, 直線の傾きが3であることか
ら,三角形 ABC は右の図のようになる.
したがって,
B
BCの長さ
AB=\10
AC=1
V10
3
とより,
AB=
14k+41 =1 より, k=-10
これは②を満たす。
よって,
としてた
A1C
てもよし
k=-10
の定理)