Question

さ

2021青山学院大学（経済）過去問です
1〜4までお願いします😿

青山学院大 - 経済
TV 以下の問題については解答用紙 (その2) を使用すること.
ある都市における感染症の流行の推移を, 3つの数列の漸化式で表した. 漸化式はn=
1,2,3,‥‥…‥‥.で成り立つものとする.
Petr
Sn+1/
S-βSnIn
・①
In+1 = In + BSInvIn･･ ②
Rn+1 = RntyIn
=
ここで Sn, In, Rn は, それぞれ第2週における未感染者数, 感染者数, 回復者数を表す.
QUEN
およびは,それぞれ感染率, 回復率を示し, 0<β<1,0 < < 1 とする. また
2βSm
を基本再生産数,
HU
BN
を第n
S1 = N > 0, I = M > 0, R = 0, βI < 1 とする.
週の実効再生産数と呼ぶ. このとき次の問いに答えよ.
Y
7
(4)
2021年度 数学 61
(1) Sn + In + R を求めよ.
BN
(2) > 1 を仮定して, In のグラフ (n が横軸、 In が縦軸)をかけ、さらにその特徴を
記述せよ.
Y
BN
-
KILA
(3) 理由 「基本再生産数」と「実効再生産数」の用語を使って説明せよ。 ただし
公比の絶対値が1未満の等比数列{an} は, nが限りなく大きくなるとき
りなく近づくという性質は使ってもよい.
が0に限
秋か考
博美
27-01 12:
ANLE
<1となるためにはどうすればよいか. ｢感染率」, 「回復率」の用語を使って 例
を挙げて具体的に説明せよ.
OXX3

(1) ① +② +③ より
40.02
ⅣV 解答
Sn+1+In+1+ Rn+1=Sn+In+Rn
となるから,数列{Sn+In+Rn} は定数列であるので
182 58 $0.0
Sn+In+Rn=S₁+I₂+R₁=N+M+0
16212305
.. Sn+In+Rn=N+M ・・・･・・④ (4)
(2) In のグラフは右図のようになる。
nが小さいときは, In は指数関数的に増
加する。 n が大きくなると In は増加から
減少に転じ, In は指数関数的に減少して
いき 0に近づく。
(3) Sn ≧0, In≧0, Rn ≧0である。
①より
Sn+1=(1-βIn) Sn
(答)
-370-0.0
Dose.E
M
O
50.8
SAV
30.00ES AS.0-'80s
In↑
COES
n
38TMS 094 $50.00
MO-MO C409100

青山学院大 - 経済
0<β<1, In≧0で, 0<βIn<1より
したがって, Sn は単調に減少する。
SOME
(i) n が十分小さいとき, Sn=N とみなせる。 このとき, ②は
In+1=In+BNIn-YIn
=(1+βN-y) In
I = M より In=M(1+BN-y)^-1
基本再生産数
BN BNE
が
Y
{In}の公比は1より大きく, In は指数関数的に増加する。
Janus
71-
(ii) ②より
第n週の実効再生産数
BSn
Y
In+1=(1+βSn-y) In
BSn
Y
2021年度 数学<解答> 105
Sn+1 <Sn
->1 のとき, 1+βN-y>1 であるから, 数列
r
-> 1, すなわちSn>
と In の関係は
Y
のとき, 1+βSn-y>1より
B
BSn
Y
- < 1 すなわちSn<- のとき, 1+BSn-y<1より
r
B
たい
1 26
*In+1>In
12442
In+1 <In
Y
とわかる。 Snは単調に減少するので, Snが より小さくなる週から In
B
は増加から減少に転じる。
** OSŤ
() n が十分大きいとき, 未感染者が少なくなるため, Sm=0 とみなして
岡本有
CA
MASA
よい。 このとき②
In+1=In-yIn=(1-y) In
**²0*1
NOUL JRD D
よって, 数列{In}は公比1-yの等比数列となり, 0 <1-x<1であるか
FR20 0001
ら,公比の絶対値は1未満である。 よって, In は指数関数的に減少し,n
o 16x1
VINE500
が限りなく大きくなると, Inは0に限りなく近づく。
190 315 316
HI HAA8653
以上, (i),(i), ()より (2) のグラフを得る。
AUF
CERCAND
120036+ND
BN
(4) <1となるためには, 感染率 βを下げ, 回復率yを上げればよい。
13109 of a
感染率を下げるためには, 感染源を隔離したり消毒するなどの対策をとる。
回復率を上げるためには, 感染症に有効な治療法を開発することである。

漸化式 数列