(2)で(1)の不等式をどう生かしたのか、 解説の一連の不等式の流れがよくわかりません。

14 不等式の証明/拡張した形 (ア) (1) yが実数のとき, 2 (2) a, b, c が実数のとき, x+y\2 であることを証明せよ. であることを証明せよ。 a²+26² + c² = (a+b+c)². (イ) (1) ||<1, y|<1のとき, zy+1>æ+yを証明しなさい。 (立命館大文系) (2)また,(1)を用いて,|x|<1,|y|<1,|z|<1のとき,ry+2+y+zを証明しなさい。 (1)を活用する (岐阜経済大) (2) が (1) を拡張したような形の式を証明するときは (1) を利用して(2)を示 すことをまず考えよう. 本間 (ア)の場合,226262(イ)の場合, zyz(ry)zとして,(1)に結び つける. 2+2btc 解答 4 2 (ア) (1) (左辺) (右辺)= = {2(x²+ y²)-(x+y)²)=(xy)²≥0 1/2++ 46+20) となるから, 証明された. (2) (1)の不等式を用いると, b2+c2 (左辺)= ・+ 2 2 2 1)= 1½ (a² + b² + b² + c² ) = {(a+b)² + (b+c)"} (1)の不等式は, 02+02 0+2 2 2 ということ. a+b b+c + なお, (2) は, 平方完成で直接 a+b 2 2 a+2b+c I= y= 2 4 2' (1)を利用 (イ) (1) (左辺) - (右辺) =ry-x-y+1 =(x-1)(y-10 (x < 1, y<1だから) 示すこともできる。 16 { (左辺) (右辺)} =4(α2+262+c2)-(a+2b+c)2 =3a2+462+3c2 --4ab-4bc-2ca =462-4(a+c) b b+cとして 2 となるから, 証明された. +3a2-2ac+3c2 (2) w=xyとおくと, |x| <1,|y|<1により, |w|<1である。 よって, =4(6-a+c)²+ +2(a-c)2≥O 2 (1)を用いると,wz+1>w+z :.xyz +1>xy+z 各辺に1を加え, yz+2> (xy+1)+z 右辺に (1) を使い, ryz+2>(xy+1)+z>(x+y+z となるから, 証明された. 14 演習題 (解答はp.29) (ア) p. 9. rをいずれも正数とする. (1) XY-X-Y +1 を因数分解しなさい。 HENDER BIG (2)2+2-22-1の大小を比較しなさい . (3)2 +2 +2'320+9+r-1の大小を比較しなさい。 (イ) 次の(1),(2) を証明せよ. (龍谷大文系) (1)とき I y 1+x 1+y (2) すべての実数a,bについて, la+bl 1+a+b |a|+|6| 1+|a|+|6| (岐阜聖徳学園大) (ア) (3)では、 2D+g+r=2(D+q)+ と見る。 (イ)一般に. |a|+|0|≧|a+01 が成り立つ。 21

数2の不等式の証明です！ (2)が分からないので教えてください！

3変数への 拡張 PA 29 |a| <1,|6|<1, |c| <1 のとき,次の不等式を証明せよ。 (1) ab+1>a+b ポイント④ (2) は, (1) を3文字の場合に拡張した不等式。 (2) abc+2> a+b+c 本問では, (1) を利用して, (2) を導くことができる。

7の倍数の判定方法についてなのですが、例えば5桁の自然数の場合には使えますか？　 また練習問題(2)についても、例えば6桁の自然数の場合には使えますか？桁数が奇数のときだけでしょうか？

検討 7の倍数の判定法 上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、次の判定法が知られている。 一の位から左へ3桁ごとに区切り,左から奇数番目の区画の 和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。 例えば,987654122 は、 右の図において, (① +③) - ② から (987+122)-654=455=7X65 したがって, 987654122 は 7の倍数である。 なお,この判定法は, 10°+1 = 7×143,10°-1=7×142857, 10°+1 = 7×142857143, ・である ことを利用している。 例 987654122 3桁ごとに区切ると 987654 | 122 練習 (1) 5桁の自然数4回93の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる。 104 でのような自然数で最大なものを求めよ。 (2) 5桁の自然数abcba が 11 で割り切れるための必要十分条件は,2a-2b+cが 11で割り切れることであることを示せ。 (p.484 EX73」

数Iの三角比の拡張の問題です。 解き方が分からないので解説をお願いします。

30 三角比の拡張 (1) 三角比の値 99 (1) 0°<890° とする。 右の図 においてQの座標をx, yで表し, 次の等式が成り立つことを示せ。 (ア) sin (90°+0)=cose (イ) cos (90°+0)=-sin0 (ウ) tan (90°+8)=- 1 tan (2) 三角比の表を用いて,次の三角比の値を求めよ。 (ア) sin 155° (イ) cos 140° ポイント1 180° 6,90° +日の公式利用 ARNO YA -1 Q 1 (2) まず, 公式を用いて、 鋭角の三角比に直す。 90°+0 O P(x,y) (ウ) tan 110°in/ 1 x

このΣの計算教えてください。 (k=0のとき)+Σ[k=1,30](61-2k) として計算すると 61+60×30-2×1/2×30×31 =631となるんですが間違っているとこはどこですか？

11:59 Σ[k=0,30] (61-2k) 自然言語 数学入力 和 30 Σ(61-2k) = 961 k=0 部分和 Sk 1000 800 600 400 200 5 10 15 20 25 30 このページをダウンロード A Wolfram言語を使っています all 5G 75 拡張キーボード + ↓ ･･

62.1 方程式の解の1つをwとしているので x^2+x+1=0をw^2+w+1=0としてしまうと 二次方程式の2つの解がwで表せるようになってしまうので条件 と合わなくないですか？？

100 0000 基本例題 62 x+x+1で割ったときの余り f(x)=x80-3x40 +7 とする。 の1次式 (1) 方程式x2+x+1=0の解の1つをω とするとき, f (w) の値をωの1 表せ。 (2) f(x) を x2+x+1で割ったときの余りを求めよ。 基本 53.61 重要 55 指針f(x) は次数が高いので、値を代入した式を計算したり、割り算を実行したりするのは い。 ここでは,これまでに学習した、次の方針に従って進める 高次式の値 条件式を用いて次数を下げる 割り算の問題等式 A =BQ+R の利用。 B = 0 を考える ω'+ω+1=0 (1) は x2+x+1=0の解であるから これを用いてまずの値を求め、その値を利用してf(ω) の式の次数を下げる。 (2) 求める余りはαx+b と表されf(x) = (x2+x+1)Q(x)+ax+b これにx=ω を代入すると f(w)=aw+b Q(x) は商 解答 (1) は x²+x+1=0の解であるから よって w²=-w-1, w²+w=-1 w²+w+1=0 また, 80=3・26+2, 40313+1 であるから (*) w³-1 3a+s=(w-1)(w²+w+1)=0 eee²=(a-1)=-(ω^+c)=(-1)=1) から1としてもよい。 は1の虚数の3乗根であ る。 f(w)=w8⁰-3w40 +7=(w³) ²6 w²-3(w³) ¹³.w+7 =126.(-ω-1)-3・13・ω+7=-4ω+6 (2) f(x) を x2+x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b (a,bは実数) とすると 練習 f(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+b ω'+ω+1=0であるから (1) から -4w+6=aw+b α, b は実数は虚数であるから a=-4, b=6 したがって 求める余りは -4x+6 f(w)=aw+b が成り立つ。 次数を下げて1次式に。 [参考] a b c d が実数, zが虚数のとき ① a+bz=0 ⇔ α = 0 かつ b = 0 ② a+bz=c+dz ⇔a=c かつ b=d [証明] [①の証明] (←) 明らかに成り立つ。 (⇒) b=0 と仮定するとz=- :=-1 このとき a=0 b=0 よって ② の証明は、(a-c)+(b-dz=0 として上と同様に考えればよい。 なお、上の①②は、p.62の①②を一般の場合に拡張したものにあたる。 2018をx²+x+1 で割ったときの余りを求めよ。 → (2) A=BQ+R 割る式B=0 を活用。 下の参考② を利用。 S 左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。 基 3次 定業 指針 解 -18 (-1) すな これ よっ 左辺 した 別解 fC (x 右 こ し xC * E C

104.2 記述に問題ないですか？？

基本例題 104 倍数の判定法 (1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき, □に入る数をすべて求めよ。 (2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき, 前の数と後の数の差が 7の倍数であるという。このとき,Nは7の倍数であることを証明せよ。 (例) 869036の場合 869-036=833=7×119であり, 869036=7×124148 1838858008 (2)類成城大 p.4682 指針 (1) 例えば, 8の倍数である 4376は,4376=4000+376=4・1000+847 と表される。 1000=8･125は8の倍数であるから、8の倍数であることを判定するには,下3桁が8の (ただし,000 の場合は0とみなす) 倍数であるかどうかに注目する。 (2) Nの表し方がポイント。 3桁ごとに2つの数に分けることから, N = 1000α+b (100≦a≦999,0≦b≦) とおいて, N は 7の倍数⇔N=7k(kは整数) を示す。 解答 (1) □に入る数を α ( α は整数, 0≦a≦9) とする。 下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから 700+10a+6=706+10a=8(a+88)+2(a + 1 ) 2 (α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。 よって a+1=4, 8 すなわち a = 3,7 したがって、□に入る数は 3, 7 (2) N=1000a+b(a,bは整数;100 ≦a≦999,0≦b≦999) とおくと,条件から, a-b=7m(mは整数)と表される。 ゆえに, a=b+7m であるから N=1000(6+7m)+b=7(1436+1000m) したがって, N は 7の倍数である。 |706=8・88+2 そば 987654122 は、 右の図において, (①+③) -② から 664=455=7×65 0≦a≦9のとき 1≤a+1≤10 |869036=869000+36 = 869×1000+36 のように表す。 10016+7000m =7・1436+7・1000m 検討 7の倍数の判定法 上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、 次の判定法が知られている。 一の位から左へ3桁ごとに区切り, 左から奇数番目の区画の 和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。 例 987654122 3桁ごとに区切る 987 | 654 | 122

104.1 この記述どうですか？？

基本例題 104 倍数の判定法 (1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき, □に入る数をすべて求めよ。 (2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき, 前の数と後の数の差が 7の倍数であるという。このとき,Nは7の倍数であることを証明せよ。 (例) 869036の場合 869-036=833=7×119であり, 869036=7×124148 1838858008 (2)類成城大 p.4682 指針 (1) 例えば, 8の倍数である 4376は,4376=4000+376=4・1000+847 と表される。 1000=8･125は8の倍数であるから、8の倍数であることを判定するには,下3桁が8の (ただし,000 の場合は0とみなす) 倍数であるかどうかに注目する。 (2) Nの表し方がポイント。 3桁ごとに2つの数に分けることから, N = 1000α+b (100≦a≦999,0≦b≦) とおいて, N は 7の倍数⇔N=7k(kは整数) を示す。 解答 (1) □に入る数を α ( α は整数, 0≦a≦9) とする。 下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから 700+10a+6=706+10a=8(a+88)+2(a + 1 ) 2 (α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。 よって a+1=4, 8 すなわち a = 3,7 したがって、□に入る数は 3, 7 (2) N=1000a+b(a,bは整数;100 ≦a≦999,0≦b≦999) とおくと,条件から, a-b=7m(mは整数)と表される。 ゆえに, a=b+7m であるから N=1000(6+7m)+b=7(1436+1000m) したがって, N は 7の倍数である。 |706=8・88+2 そば 987654122 は、 右の図において, (①+③) -② から 664=455=7×65 0≦a≦9のとき 1≤a+1≤10 |869036=869000+36 = 869×1000+36 のように表す。 10016+7000m =7・1436+7・1000m 検討 7の倍数の判定法 上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、 次の判定法が知られている。 一の位から左へ3桁ごとに区切り, 左から奇数番目の区画の 和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。 例 987654122 3桁ごとに区切る 987 | 654 | 122

104.2 実際に記述問題として試験に出てきても （）の中に2枚目の写真のように （a,bは整数で100≦a≦999,0≦b≦999） と書いてもいいのですか？

470 1000000 基本例題 104 倍数の判定法 (1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき,□に入る数をすべて求めよ。 (2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき, 前の数と後の数の差が 7の倍数であるという。 このとき, N は 7の倍数であることを証明せよ。 (例) 869036の場合 869-036833=7×119 であり, 869036=7×124148 [(2) 類 成城大] 指針 (1) 例えば, 8の倍数である 4376は, 4376=4000+376=4・1000+8･47 と表される 1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が80 (ただし,000の場合は0とみなす) 倍数であるかどうかに注目する。 (2) Nの表し方がポイント。3桁ごとに2つの数に分けることから, N=1000a+b (100≦q≦999,0≦b≦999) とおいて,Nは7の倍数N=7k(kは整数)を示す。 解答 (1) 口に入る数をα (a は整数, 0≦a≦9) とする。 下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから 700+10a+6=706+10a=8(a+88) + 2 (a + 1 ) 2 (α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。 よって α+1=4, 8 すなわち α = 3, 7 したがって、□に入る数は 3, 7 (2) N=1000a+6 (a,bは整数;100 ≦a≦999,0≦b ≦999) とおくと,条件から, a-b=7m (mは整数)と表される。 ゆえに, α=6+7m であるから N=1000(b+7m)+b=7(1436+1000m) したがって, N は 7の倍数である。 例えば,987654122 は、 右の図において, (① +③)-②から (987+122)-654=455=7×65 したがって, 987654122は7の倍数である。 練習 ②104 基本事項 706=8・88+2 0≦a≦9のとき 1≦a+1≦10 検討 7の倍数の判定法 上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、 次の判定法が知られている。 一の位から左へ3桁ごとに区切り、左から奇数番目の区画の 和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。 869036-869000+36 | = 869×1000+36 のように表す。 10016+7000m =7・1436+7・1000m なお,この判定法は, 10°+1=7×143, 10°−1 = 7×142857, 10°+1 = 7×142857143, ことを利用している。 例987654122 3桁ごとに区切ると 987654/122 ①② (1) 5桁の自然数 493の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる このような自然数で最大なものを求め上 (2) 5桁の自然数 ! ②

メネラウスの定理の拡張らしいなのですが、解き方が分かりません。 もし良ければ、図解で教えてもらえるとありがたいです。

12 下の図において, CQ: QA を求めよ。 (2) B 3 2. QC QA //=1 15 95.00 = 1 4 12 QA Qc QA 15 P P R 2 3 B A CQ AR BP = 1 QA RB pc