Question

Hi（受験生）

104.2
記述に問題ないですか？？

基本例題 104 倍数の判定法
(1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき, □に入る数をすべて求めよ。
(2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき, 前の数と後の数の差が
7の倍数であるという。このとき,Nは7の倍数であることを証明せよ。
(例) 869036の場合
869-036=833=7×119であり, 869036=7×124148
1838858008 (2)類成城大 p.4682
指針 (1) 例えば, 8の倍数である 4376は,4376=4000+376=4・1000+847 と表される。
1000=8･125は8の倍数であるから、8の倍数であることを判定するには,下3桁が8の
(ただし,000 の場合は0とみなす)
倍数であるかどうかに注目する。
(2) Nの表し方がポイント。 3桁ごとに2つの数に分けることから, N = 1000α+b
(100≦a≦999,0≦b≦) とおいて, N は 7の倍数⇔N=7k(kは整数) を示す。
解答
(1) □に入る数を α ( α は整数, 0≦a≦9) とする。
下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから
700+10a+6=706+10a=8(a+88)+2(a + 1 )
2 (α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。
よって
a+1=4, 8 すなわち a = 3,7
したがって、□に入る数は
3, 7
(2) N=1000a+b(a,bは整数;100 ≦a≦999,0≦b≦999)
とおくと,条件から, a-b=7m(mは整数)と表される。
ゆえに, a=b+7m であるから
N=1000(6+7m)+b=7(1436+1000m)
したがって, N は 7の倍数である。
|706=8・88+2
そば 987654122 は、 右の図において, (①+③) -② から
664=455=7×65
0≦a≦9のとき
1≤a+1≤10
|869036=869000+36
= 869×1000+36
のように表す。
10016+7000m
=7・1436+7・1000m
検討 7の倍数の判定法
上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、 次の判定法が知られている。
一の位から左へ3桁ごとに区切り, 左から奇数番目の区画の
和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。
例 987654122
3桁ごとに区切る
987 | 654 | 122

216桁の自然数Nを
N = a b c d e f & 7 fe
abc - def = (k (k (x)
と表すことができる。
N = 10²³¹ x abc + def
=
lool abc = abc + def
t
二
•141 x 7 abc - (abc - def)
= 14/ x7 abc - 7k
= 7 ( 141 abc = k/
141.abc-kは整数なのでNは7の倍数である