練習
正の整数nでn"+1が3で割り切れるものをすべて求めよ。
07
nを3で割ったときの商をqとすると,nは
39, 3q+1, 3q+2 のいずれかで表される。
[1] n=3qのとき,q21であり
n"+1=(3q)°+1=3(399-!.g)+1
3q-122, 3q23であるから,34-!.g9は整数である。
よって,n"+1は3で割り切れない。
[2] n=3q+1のとき, q20であり
n"+1
=(3q+1)9+1 +1
=39+1Co(3q)**+3g+1Ci(3q)"+…+3g+1Caq3q+ 3q+1
=3×(整数)+2
1章
【類 一橋大)
練習
そ3 で割った余りは0か
1か2である。
そn"+1=3×(整数)+1
そ二項定理を利用。
の各項は
|3×(整数)の形。
39+1
そ
よって, n"+1 は3で割り切れない。
[3] n=3q+2のとき, q20であり
n"+1
=(3q+2)+?+1
=g+Co(3g)
そ二項定理を利用。
39+2
+39+2C(3g)*+*.2+
+sg+2Caq+1 3q*24+1
の各項は
3×(整数)の形。
そ
+34+2C39+2*29+2+1
=3×(整数)+2°9+2+1
ここで
299+2+1
=(3-1)9+2+1
=30+2Co399+2+ 30+2C13°9+1(-1)+·
+3g+2Cag+2(-1)
の
M
そもう一度二項定理。
39+1
の各項は
3×(整数)の形。
そ
39+2
+1
=3×(整数)+(-1)*-1
(-1)+1の値について調べると
(i) qが偶数,すなわち q=2k(kは0以上の整数)のとき
39+2
偶数
を利用
1(-1)*数=-1
するために,偶奇に分け
39+2
6k+2
る。
このとき,O, のから, n"+1 は3で割り切れない。
(i) qが奇数,すなわちq=2k+1 (kは0以上の整数)のと
き
39+2
6k+5
そ6k+5 は奇数。
このとき, O, のから, n"+1 は3で割り切れる。
[1]~[3] から, n"+1が3で割り切れるのは,
n=3(2k+1)+2=6k+5(k は0以上の整数)のときである。
そ[3] (i)のときのみ。
[式と証明]
