赤い線が引いてあるところで、xで割るのにx＝0の時と0でない時で場合分けしていないのはなぜですか？教えてください！

例題 221 定積分と すべての実数xについて, 等式 xf(x)=x+2 f(x) を求めよ。 思考プロセス « Re Action 上端 (下端)が変数の定積分は, 定理の利用 y=f(x) とおくと ★★☆☆ +2 ff(t) dt を満たす関数 af*f(t)dt=f(x) を利用せよ 1910 Go Ah 微分方程 でその現 探究 例題 薬を血 さで代 をxで微分する + xf'(x) =1+2f(x)⇒y+xy'=1+2y f(x) し、 微分方程式 にx=1 を代入 1・f(1)=1+2ff(t)dt 0 () iA 解 xf(x) = x+2 2* ƒ (t)dt ... ..① とおく。 163 よって, ②より 両辺を積分すると=fa ①の両辺をxで微分するとf(x)+xf'(x) =1+2f(x) dy y = f(x) とおくと x =y+1 dx ... ② 関数 f(x) はすべてのxについて定義されており, 定数関数 f(x) = -1 は等式① を満たさないから, x(y+1) ≠0 としてよい。 1 dy 1 y+1dx x 両辺をxで微分して微分 方程式をつくる。 dx f* f (t)dt = f(x) リ Ac 関数 f(x) = -1 のと (笑)き、①の左辺は x 右辺は 2∫(-1)dt 脚生 (1) 思考プロセス (1) If (2) はっ 血中 [条 条件 x+2 log|y+1| = log|x|+Ci =x-2(x-1) =-x+2 これより |y+1| = elog|x|+C1 = eCielog|x| = となり, f(x)=-1 は ① を満たさない。 よって y=±ex-1 C ここで,C=±e とおくと y=Cx-1(C≠0)ol 例題 1=C・1-1 より C = 2 したがって,求める関数 f(x) は f(x) =2x-1 Point... 微分方程式と初期条件 B4 また, ① に x = 1 を代入すると f(1) =1であるから, らf(1)=1 ff(t)dt = 0 であるか t (2) t 微分方程式の一般解は, 任意定数を含む 曲線群を表すが、これらの曲線のうち 点(x1, 21) を通るもの、すなわち x= x1 のとき y = yı 3) という条件を満たす特殊解は,いくつかに限定される。 微分方程式に対するこのような 条件を初期条件という。 ■ 221 すべての実数xについて L チャレンジ (7)

この問題では立体Aの形が分からないと解けない問題で合ってますか？このような問題では立体の形は分からなくていいと思っていたので分からなくなってしまいました。回答よろしくお願いします。

388 (2) 切り口を考えたいが, 立体Bはイメージしにくいから 立体Aを「z軸のまわりに回転させる」→それを「平面 z=tで切る」 見方を変える 例題 21. xyz 空間において,D={(x, y, z1≦x≦2,1≦y ≦ 2, z = 0 } で表 された図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体をAとする。 (1) 立体 A の体積VA を求めよ。 (2) 立体Aを軸のまわりに1回転させてできる立体Bの体積VB を求 めよ。 (名古屋大 改) ReAction 回転体の体積は、回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 例題199 切り口の図形Eは図1の長方形 PQRS となる。 平面 z = t と軸の交点をH, 線分PSの中点をM とすると ゆえに PH = √PM2+MH=√8-1 S(t) = PH-π・12 =(√8-12)² -=(7-12) S 1 点Hから最も遠い点は P, 点Hから最も近い点 はNであるから S(t) = (半径PH の円) (半径NHの円) PM=√22-2 特講 (1) t1のとき 図1' 平面 z=t における図 図2′ 平面 x=2 における図 Q P 12 St P R S' +M z=tr イメージしにくい。 M HN x R -21- 0 立体A を「平面 z = t で切る」→それを「2軸のまわりに回転させる」 AP H 12y P.S. -1 イメージしやすい。 場合に分ける 21 HACS (2 (ア)断面が長方形1個 (イ) 断面が長方形 2個 切り口の図形Eは図1' の tの値によって, z=t 2つの合同な長方形 PQRS, 断面の形が異なる。 H• P'Q'R'S′ となる。 N H x 線分 PP′, QQ' の中点を M, Q' RR 0 0 z=to N とすると -2-1 図3′ 平面 x=1 における図点Hから最も遠い点は 0 12 y P. 点Hから最も近い点 はRであるから S(t) (半径PH の円) (半径RHの円) y 22120) 03-12-09 PHPM² + MH² PM=√22-12 √√8-12 02 4章14 体積・長さ,微分方程式 Action» 切る平面によって断面の形が変わるときは,図を分けて考えよ - RH = √ (1) 立体 A は,底面の半径が2で高 さ1の直円柱から, 底面の半径が 1で高さが1の直円柱をくり抜い た立体である。 y y D 2 2 1 1 02 よって, その体積は O 0 1 2 VA=2°z.1-12.1 = 3π √RN²+NH² √2-12 RN=√1-2 ゆえに (2) 立体Aを軸に垂直な平面 z=tで切ったときの, 切り口の図形をEとし,図形Eをz軸のまわりに1回 転させてできる図形の面積を S(t) とする。 立体Bはxy 平面に関し 対称である。 no (ア)1st ≦ 2 図1 平面 z=t における図 図2 平面 x=2における図 2 H・ P S IM P St z=t, 2 t 2 0 HN M x -2-1 0 1 12y S 2 S(t)=PH-RH 2 = (√8–1²)² -π(√2–1²)² = 6 (ア)(イ)より、求める立体Bの体積は VB =S(t)dt = 2*S(t)dt -26x dt + (7-- =2 =2 S 66 立体Bはxy 平面に関し て対称である。 64 3 212 空間内の平面 x = 0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1 によって囲まれた 立方体をP とおく。Pをx軸のまわりに1回転させてできる立体を Px, P 軸のまわりに1回転させてできる立体をP,とし,さらにPx と Pyの少 なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする。 Jano1 (1)Qと平面 z=t が交わっているとする。 このときPx を平面 z=t で切っ たときの切り口を Rx とし,Py を平面 z = t で切ったときの切り口を R, とする。Rx の面積,Ry の面積, R. と Ryの共通部分の面積をそれぞれ求 めよ。 さらに, Q を平面 z = tで切ったときの切り口の面積S(t) を求めよ。 (2)の体積を求めよ。 (富山大) 38 p.403 問題212

数学　積分 元の式から赤線のように変形するのは、計算しやすくするためでしょうか？ （どうしてこの形だと計算しやすいのかも教えていただきたいです🙇‍♀️） また青線のところで、左辺には＋Ｃは書かなくて良いのでしょうか？

例題20 dy x dx ば、x=-2のときのyの値はいくらか。 微分方程式=y2+y を満たす関数において, x=1のときy=1なら 1 解答 2 解説 x=y+y より dx 1 dy y2+ydx dy y(+1) = 1 y+1 = dx loglyl-logly + 11 = log|xl + C x=1のときy=1であるから logl-log2=log1 + C ..C=-log2 よってlog = 10g | y y+1 =log || x = y+1 2 ここで,x=-2とすると, y =- -1 y+1 y=-y-1 したがって y=

赤線部分の左辺にはCいらないんですか？？右辺だけでいいんですか？

作 例題 218 微分方程式 (2) 次の微分方程式を解け. dy -=-y(x=1 のとき y=2) (1) x- x dx dy (x=0y=1) (2)=x(2y-1)(x=0 のとき y=1) [考え方 dx xh **** まず,それぞれ与えられた式を変形して,xとy を分離する(左辺に y, 右辺に x). 途中で出てくる任意定数は C, などとおき、最後に定数をまとめてCとするとよい。 ()で与えられた条件を初期条件という. る) る) 解答 (1) x=1 のとき y=2 であるから, y=0 (定数関数) xとyを分離する. まず 与式を変形すると,800 は解ではない。このとき, sin 1dy=1dx だから Sdy=Sydx より) 10|y|=-log|x|+C (Cは任意定数)まずC, とおく. log|xy|=C, より, xy|=ec つまり, xy=±e より y= eq y=±- x =C (Cは0以外の任意定数) とおくと,y= 0x=1 のとき y=2 よりC=2だから、y=2 X Cx 最後にCとおく. X 初期条件を代入して Cを求める. 「x=1のとき y=2 の条件がなければ

この問題の答えの赤線引かせてもらったところなんですが、なぜxyz平面なのにdtといきなり置けるんですか？dt分のd xなどを求めないんですか？

Z1棋道のり 微分方程式 459 例題 211 立体の体積(5) **** Step 空間内の2点A (1, 0, 0) りに1回転してできる曲面と2平面 z=0, z=1とで囲まれた立体の体 B(0, 1, 1) を結ぶ線分ABを軸のまわ 積を求めよ.

基礎理論　応用数学から2つの質問があります ① 次の数式は、ある細菌の第の世代の個数f（n）が1世代後にどのように変化するかを表現したものである。この漸化式の解釈として、1世代後の細菌の個数が、第n世代と比較してどのようになるかを説明しなさい f （n+1）+0.2×f（n... 続きを読む

数学の問題です。 写真の(ii),(iv),(v)を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

次の微分方程式の一般解を求めよ。 dy (i) dx 875 dy (ii) 2y (iii) dx dy 2x (v) (1-x). + y² = 0 dx dy (iv) (i) dyf dy dx xe d dy 33 dx = ln x+1 (iii) dy Ing + 1

数学の問題です。 写真の微分方程式の一般解の求め方について、教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

dy (iii) = ln x+1 dx

数II微分の単元です。増減表をかいて極値を求める問題なのですが、画像のように、微分係数が0になっても極値をとらない場合はどうやって見分ければよいですか？機械的に増減交互に書いていたので、教えてほしいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

(4)* y=x4-6x2-8x-3 g1=4x3-12-8 =4(2³-3x-2) =4(1)(スース) フレ-1のとき y=1-6-8-3 = 0 ス 2 319 01 1-271 2=2のとき n=16-24-16-3 2 27 増減表より、極大値(=-1)、極小値-27 (x=2) また、グラフは右図のようになる。

最後の青い()のところで、右に書いてある感じで、係数を比較して答えを出すのは減点されますか？ x=0とかπ/2とかを代入して計算するやり方でないとだめですか？

基本 例題 156 第2次導関数と等式 (1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y"+2e-1=0 を証明せよ。 |(2) y=ezsinxに 267 00000 に対して,y"=ay+by' となるような定数a,bの値を求めよ。 [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 155 指針第2次導関数y” を求めるには,まず導関数y' を求める。 また, 1), (2) の等式はともに 解答 x の恒等式である。 (1) y” を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,er をxで表すには, 等式 elog = pを利用する。 (2) y, y” を求めて与式に代入し、 数値代入法を用いる。 y=2log(1+cosx) であるから (1+cosx). 2sinx y'=2. 1+cosx よって y"=- 1+cost 2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)} (1+cosxnia 2(1+cosx) (1+cosx) 2 1+cosx ex=1+cosx また, // = log(1+cosx) であるから 2 log M = klogM なお, -1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 sinx+cos2x=1 [0] elogp=pを利用すると elog(1+cosx)=1+cosx 5章 22 2 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数 ゆえに よって 2e-= 2 2 y 1+cosx e2 y"+2e-=-- 2 + 2=0 1+cosx 1+cosx (2) y=2e*sinx+ecosx=ex(2sinx+cosx) y=2e2(2sinx+cosx)+e(2cosx−sinx) =e2x(3sinx+4cosx) ゆえに ...... ay+by'=aesinx+be2x(2sinx+cosx) =e2x{(a+26)sinx+bcosx} y=ay+by' に ①,②を代入して中 e2x \(e2*)(2sinx+cosx) 1 | +e(2sinx+cosx) (S (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ ③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して 4=b 参考 (2) y=ay+by' の ように、未知の関数の導関数 を含む等式を微分方程式と いう(詳しくは p.473 参照)。 ③が恒等式⇒③にx=0, また,x=を代入して 3e=e" (a+26) これを解いて a=-5,6=4 このとき 2 を代入しても成り立つ。 (③の右辺)=ex{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。 したがって a=-5, 6=4 係数を比較して、 a+26=3. よって 4:6. a:-5. (1)y=log(x+√x+1)のとき,等式(x+10y+xy=0 を証明せよ。 156 (2)yee yayby=0を満たすとぎ 定数a,bの値を求めよ。 [(1) 首都大東京, (2) 大阪工大] p.275 EX131~133 airy.