Question

yyy

最後の青い()のところで、右に書いてある感じで、係数を比較して答えを出すのは減点されますか？
x=0とかπ/2とかを代入して計算するやり方でないとだめですか？

基本 例題 156 第2次導関数と等式
(1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y"+2e-1=0 を証明せよ。
|(2) y=ezsinxに
267
00000
に対して,y"=ay+by' となるような定数a,bの値を求めよ。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本 155
指針第2次導関数y” を求めるには,まず導関数y' を求める。 また, 1), (2) の等式はともに
解答
x
の恒等式である。
(1) y” を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,er をxで表すには, 等式 elog = pを利用する。
(2) y, y” を求めて与式に代入し、 数値代入法を用いる。
y=2log(1+cosx) であるから
(1+cosx). 2sinx
y'=2.
1+cosx
よって
y"=-
1+cost
2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)}
(1+cosxnia
2(1+cosx)
(1+cosx)
2
1+cosx
ex=1+cosx
また, // = log(1+cosx) であるから
2
log M = klogM
なお, -1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
sinx+cos2x=1
[0]
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
5章
22
2 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数
ゆえに
よって
2e-= 2
2
y
1+cosx
e2
y"+2e-=--
2
+
2=0
1+cosx 1+cosx
(2) y=2e*sinx+ecosx=ex(2sinx+cosx)
y=2e2(2sinx+cosx)+e(2cosx−sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)
ゆえに
......
ay+by'=aesinx+be2x(2sinx+cosx)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y=ay+by' に ①,②を代入して中
e2x
\(e2*)(2sinx+cosx)
1 | +e(2sinx+cosx) (S
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③
③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して
4=b
参考 (2) y=ay+by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう(詳しくは p.473 参照)。
③が恒等式⇒③にx=0,
また,x=を代入して 3e=e" (a+26)
これを解いて a=-5,6=4
このとき
2
を代入しても成り立つ。
(③の右辺)=ex{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。
したがって
a=-5, 6=4
係数を比較して、
a+26=3.
よって
4:6.
a:-5.
(1)y=log(x+√x+1)のとき,等式(x+10y+xy=0 を証明せよ。
156 (2)yee yayby=0を満たすとぎ 定数a,bの値を求めよ。
[(1) 首都大東京, (2) 大阪工大]
p.275 EX131~133
airy.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

e²ˣはつねに正なので
両辺をe²ˣで割って消してしまえるとしても、
　※3sin+4cos = (a+2b)sin+bcosのとき
　　3=a+2bかつ4=b
が直ちにいえる（説明せず明らかとしてよい）
かどうかは微妙だと思います

係数比較を確実にしてよい場面は
教科書に出てくる「多項式」の恒等式の場合です
この三角関数の入った恒等式で明らかとしてよいものか…

制限時間あと1分、と急いでいるときは
答が出てなんぼなので、減点どうこうでなく
とにかく使ってしまうのがよいでしょう

この問題は「係数比較してよいか？」が
本題の問題ではなさそう（これは主観）なので、
勝手に係数比較しても減点しない可能性もあります
しかし、されてしまう可能性も否めません

時間がもうない、でなければ、
係数比較してよいという一般的な理屈を
くどくど書いたほうがよいかと思います

しかし、それは面倒だから、
数値代入をするのが手っ取り早いです
係数比較してよい理屈を述べる際も、
結局代入することになるので、
やはり模範解答のように具体的な値を代入してしまうのが
安全かつ素早い方法だと思います

yyy

ありがとうございます！

Answer 2

GDO

この問題の場合なら、OKです。

特にsin関数(奇関数)とcos関数は(偶関数)は、多項式にしたときに
全く、かぶらない（同じ次数の項はない）関数になっています。

三角関数の加法定理を使ってまとめていくと、
e²ᵡ√{(a+2b-3)²+(4-b)²}・sin(x＋θ)＝0　に変形できます。
どんなxでも成り立つためのa、ｂは　a+2b-3＝０、(4-b)=0です。
こんなことしなくても、最初から係数比較するのが賢明です。

他にも、ｚ＝sinxとして置き換えて、cosx=√(1-z²)としても良いですが、
計算が面倒になるだけです。

逆に、x=0としてa、ｂが求まっても、たまたま求まったのかもしれません。
満たすa、ｂが１つだったので、他の解はないであろうと予測できますが、
a、ｂが複数求まると、他のxでは満たさない場合があるかもしれません。

x=0など、値を入れるのは、手っ取り早いし、見やすい形になるので、
１つの見つけ方（方法）として覚えておくとよいです。
（複雑な関数になると、係数を比較が難しくなるので）

色々なケースがある（悩むように、うまく出題する）ので、
この方法なら大丈夫！とは限らないのです。

GDO

両辺をcos xで割って（cos x≠0）、tan xにしてしまえば、
係数比較でよいことが分かると思います。（cos x=0は、別途確認が必要）

yyy

ありがとうございます！