例題 243 定積分の計算 (4)･･･6分の1公式
①) 等式 f(x-ar)(x-B)dx= -12 (B-α) を証明せよ。
6
(②) 定積分 (2-2x-1) dx を求めよ。
400
BIT
11+/2
1-2
(1)
S²₂(x − a)(x − B) dx = S(x²− (a+B)x+aß} dx= [x²³
3
=1/12(B-²)-1/12 (a+B) (B2-a^²)+αB(B-α)
a²)+aß(ß−
と計算した式を整理しても証明できるが, 因数x-α と積分区間の下端αに着目して
前ページの例題 242 (2) の要領で計算するとらくである。
(2) 2次方程式x2-2x-1=0 の解がx=1±√2 であることに着目。
一般に, ax²+bx+c=0 (a≠0) の解をα, βとすると,
ax²+bx+c=a(x-a)(x-β) であるから,積分区間の両端がα, βならば
S²(ax²+bx+c)dx=aS²(x− a)(x − ß) dx = —— (ß− a)³
(B-
であるから
+1
CB
>--S²(x− a) (x− B) dx=S²{(x—a)²-(ß—a)(x− a)}dx
ya
wou rux)-[(x-a) B= ª (x-ar]
a+Bx²+aBxc
2
の形で (1) の等式を利用することができる。
解答 (1)(x-a)(x-B)=(x-a){(x-a)-(β-α)}=(x-α)²-(β-a)(x-α)
(x-a)³_B-a
=
3
7
(B-a)³_(B—a)³ = —— (B-a)³
6
r=1+√√√√2
3
+ Kill / L
◆例題 242
2
αを忘れるな!
a
(1) の定積分は, 図の面積
Sに対して -S を表す。
y=(x-a)(x-β)
S
B
389
x
7章
39
定積分
