下線部の部分、｢x、yは実数であるから｣とありますが、なぜ実数であると言い切れるのかが分かりません。 教えていただきたいです！

指針>(1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 1 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考えて, Pを生 よって, Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 期 140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) (1) x, Yの関数P=x"+3y?+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6の最小値を求めよ。 なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 重 (1 (2 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大 指 このようなときは, 次のように考えるとよい。 2次式とみる。そして, Pを基本形a(xーカ)+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も, 基本形6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+by?+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが, 方針は(1) と同じ。 Q=alx-(by+c)}°+d(y-r)°+sの形に CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 解答 (1) P=x*+4x++3y?-6y+2 =(x+2)-2"+3y-6y+2 =(x+2)°+3(y-1)-3·1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+230, y-1=0のとき最小となる。 x=-2, y=1のとき最小値-5 (まず,x について基 次に,yについて基 4P=aX?+bY?+sの形 (x+2)?20, (y-1)"No (実数)20 イx+2=0, y-1=0を x=-2, y=! ゆえに と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 = (x-(y-2)}?-(y-2)?+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 全 イx?+●x+■の形に。 (まず, x について基料 イ次に, yについて基す 1Q=aX?+bY?+sの 4(実数)20 x, yは実数であるから (x-y+2)*20, (y+1)?20 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1 =-3, y=-1のとき最小値1 ゆえに 4最小値をとるエ。 y 連立方程式 の解。

この系統の問題の解法が見ても分かりません。教えて欲しいです。

基本 例題86 2変数関数の最大·最小(1) (1)x+2y=3 のとき, 2x°+y° の最小値を求めよ。 (2) x20, y20, 2x+y=8 のとき, xyの最大値と最小値を求めよ。 【熊本商 基本77)(重要118

数学に関する質問です。 波線を引いた部分にどうしてなるのか分かりません。 どなたか、良ければプロセスを教えていただけませんか？

例題 73 条件なし2変数関数 実数x, yについて, z=x°-2xy+2y?-4x+2y+8 の最小値と,その ときのx,yの値を求めよ。 考え方 次のような順で解く. 0 x, yは互いに関係なく変化するので, まずxの2次式とみて与えられた式を a(x-■)+A の形に変形する。 2 残った▲の部分(yの2次式)も6(y-口)+△ の形に変形する. 3 a(x-■)+6(y-ロ)*+△ (a>0, b>0, △は定数)は(x-■)と0, (yーロ)20 であるから,xー■=y-ロ=0 のとき最小値△をとることを利用する。 y+2=A とおくと、 (x?-2Ax+A°-A) +2y°+2y+8 =(x-A)?-A° +2y°+2y+8 y-2y+4 も平方完成 する。 解答 z=x-2xy+2y°-4x+2y+8 =x-2(y+2)x+2y?+2y+8 =(x*-2(以は2)x+(t2)-(y+2} +2y?+2y+8 ={x-(y+2)}?-(y+2)*+2y°+2y+8 ={x-(y+2)}+y-2y+4 =(x-y-2)+(y-1)°+3 ここで,(x-y-2)°20, (y-1)?20 より, ス=(x-y-2)?+(y-1)?+323 となるから,xーyー2=0, y-1=0 のとき,最小値3を とる。 よって,求める最小値は, 3(x=3, y=1 のとき) aが実数のとき, a20 であり,等号が 成り立つのは a=0 の ときである。 xーyー2=0, y-1=C より,y=1, x=3

この問題教えてください解き方教えてくださいお願いします

2変数関数の最大 最小 例題 72 実数x, yを変数とする関数 a=x°+10y?-6.xy+2.x-2y+8 の最小値を求めよ。 また, そのときのx, yの値を求めよ。

こういう問題の時、最後はx,yが実数だから…というふうに範囲を絞りますが、x,yが虚数というのは考えてはいけないんですか？

140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) O000 重要 例題 (1) x, yの関数P3x°+3y°+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (1) 関数 y= (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (2) -1Sxミ 値を求め、 なお,(1),(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大) 指針> (1)特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 I x, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをま封。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がt 2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-p)°+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+bYy"+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}"+d(y-r)+s の形に刻 00 CHART 解答 (1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 ソ=t- t20の範囲 最小となる 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)?-2°+3y?-6y+2 てe=(x+2)°+3(y-1)?-3-1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 まず,x について基 よって (2) x-2x- t=(x S4次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの形 (x+2)°20,(y-1)。N0 | (実数)20 -1SxS1 x+2=0, y-1=0を x=-2, y=l yをtの ソ=t ①の範囲 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 ={x-(y-2)}-(y-2)°+2y°-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 =(x-y+2)°+(y+1)?-1?+2 8- t=-2 0S8+ x+●x+■の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2の ゆえに イ次に,yについて基 よって X, yは実数であるから よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 xーy+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと (x-y+2)20,(y+1)°z0 (実数)20 ゆえに よって x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18大 い 最小値をとるぁpo の解 ゆえに -1Sx= 以上から 連立方程式 0 ()(8 0)=(x 練習 X, yの関数 P=2x"+y?-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 練習 87(2) x, yの関数Q=x"-6xu+10 88 なか

こういう問題のとき、最後はx,yは実数だから…っていうふうにして範囲を絞っていくと思うんですけどx,yがなんで実数って確定するんですか？虚数ではダメなんですか？誰か教えてください！お願いします！

重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 「なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 OO00 重要 例題 (1) 関数 y= (2) -1Sxミ 値を求め。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大1 指針> (1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 Ix, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをます。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がtG 2次式とみる。そして, Pを基本形 a(x-b)°+qに変形。 2 残ったg(yの2次式)も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX°+by'+s (a>0, b>0, s は定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xyの項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}\+d(y-r)+sの形に刻 紙 CHART) 解答 の(1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 -方の文字を定数とみて処理 ソ=tー 解答 t20 の範囲 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)°-2°+3y?-6y+2 re=(x+2)°+3(y-1)-3·12-2 = (x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 ゆえに 最小となる (まず,x について基料。 よって (2) x°-2x- t=(x 5S▲次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの税 (x+2)°20, (y-1)20 (実数)20 -1SxSI (x+2=0, y-1=0を割 x=-2, y=l yをtの y=t のの範囲 x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y°-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 =(x-(y-2)}-(y-2)°+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 38- t=-2 0S+ x+ x+ の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2 の ゆえに イ次に,yについて基 KQ=ar+b?"+s0% (実数)20 よって x, yは実数であるから よって, Qはx-y+2=0, y+1=0 のとき最小となる。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと ゆえに よって (最小値をとるよ yの (連立方程式)の解 () 8 .0)=(c ゆえに x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18動大郎 -1Sx= 以上から (1) x, yの関数P=2x*+y°-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 87 (2) x, yの関数Q=x*-6xy+10u 練習 練習 88 なお 1) Dらと。

こういう問題のとき、最後はx,yは実数だから…っていうふうにして範囲を絞っていくと思うんですけどx,yがなんで実数って確定するんですか？虚数ではダメなんですか？誰か教えてください！お願いします！

重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 「なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 OO00 重要 例題 (1) 関数 y= (2) -1Sxミ 値を求め。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大1 指針> (1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 Ix, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをます。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がtG 2次式とみる。そして, Pを基本形 a(x-b)°+qに変形。 2 残ったg(yの2次式)も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX°+by'+s (a>0, b>0, s は定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xyの項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}\+d(y-r)+sの形に刻 紙 CHART) 解答 の(1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 -方の文字を定数とみて処理 ソ=tー 解答 t20 の範囲 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)°-2°+3y?-6y+2 re=(x+2)°+3(y-1)-3·12-2 = (x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 ゆえに 最小となる (まず,x について基料。 よって (2) x°-2x- t=(x 5S▲次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの税 (x+2)°20, (y-1)20 (実数)20 -1SxSI (x+2=0, y-1=0を割 x=-2, y=l yをtの y=t のの範囲 x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y°-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 =(x-(y-2)}-(y-2)°+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 38- t=-2 0S+ x+ x+ の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2 の ゆえに イ次に,yについて基 KQ=ar+b?"+s0% (実数)20 よって x, yは実数であるから よって, Qはx-y+2=0, y+1=0 のとき最小となる。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと ゆえに よって (最小値をとるよ yの (連立方程式)の解 () 8 .0)=(c ゆえに x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18動大郎 -1Sx= 以上から (1) x, yの関数P=2x*+y°-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 87 (2) x, yの関数Q=x*-6xy+10u 練習 練習 88 なお 1) Dらと。

点(2p－X.2q－Y)がC上にあるとわかるのは何故ですか？

この方法 から、 を消去すると、 'ー1-ェ20により、 rS1 と いう条件がrに加わることに注意、消去される文 の条件が、残された文字の変域に制限を与えるのであ 「:」は比の意味 )にCという名 数のグラフはあ )などと表現す っ点のェ座標と 式という。 る。) 一文字消去が困離であったり、一文字消去の結果。 関数の形が複雑になりすぎて手におえなくなってしま うようなときは, 次のようにする。 6.3 逆手流 ある値をが求める値域に入る JS(x, y)=0 かつ g(x, y)=Dk を満たす実数工, yが存在する ととらえ,この(* )を成立させるためのkの範囲こそ が求める値域である。 これだけではよく分からないだろうから, 詳しくは p.66 のミニ講座「逆手流」を参照のこと. 2変数関数 =ッが変数で を考える。 る方法) 三(定数と る。 その 超ミニ講座·グラフの対称移動 数Iの座標の話題であるが, 平行移動と同様にと らえることができるので, ここで紹介しよう。 点対称移動 曲線C:y=f(ェ)を点(p. q)に関して対称移 動させて得られる曲線 C' の方程式は, また最小 こときの m(y) 次の手 2q-y=f(2p-ェ) (X,Y) [解説] 右図のようになる から, 点(X, Y)が C'上にある →点(2カーX, 2q-Y) イp.9) がC上にある → 2q-Y=f(2カ-X) (2p-X,2q-Y) *線対称移動 曲線C:y=f(ェ)を 工軸に関して折り返すと, 0 ーy=f(z) 9軸に関して折り返すと, リ=f(-x) 33

波線部の x.yは実数だから (x－2y)^2≧0となる理由が分かりません

OO 114 重要例題71 2変数関数の最大 最小 x, yを実数とするとき, x-4xy+7y°ー4y+3 の最小値を求め, のx, yの値を求めよ。 CHARTOSOI 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから, このに rとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。難しく考えす OLUTION yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。そして 基本形 a(x-p)。+q に変形する。 そして,更に残った定数項q(yの2次式) も 基本形 6(yーr)+s に変形する。 (実数)20 ここで,次の関係を利用する。 実数X, Yについて X°20, Y'0 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数)は X=Y=0 で最小値kをとる。 と定 解答 yを定築 いて平方 inf. xを x-4xy+7y?-4y+3 料が ={(x-2y)-(2y)}+7y°-4y+3 e+uS =(x-2y)?+3y?ー4y+3 e+ 平方完成す 2 (2 +3 2 as=(x-2y)?+3{{y なるが,編 7y°-4( 3 -(x-29)"+3{=})+ · | 7ゾー ールー 5 3 おいてm3D0 と x, yは実数であるから (x-2y20, (yー=0 +20-330 したがって, x-2y=0, y- 2 =0 すなわち 7 3 +3 4 2 x=. y=で最小値号をとる。 20-3- 5 3 3 の の最大 天

質問です。 ①の条件にプラスして、0<y<6も考慮して解き進めたら答えが違くなっちゃいました。 なぜyの条件は考えないのですか?教えてください

x+y=6 のとき, log」 x+log , yの最小値と,そのときのx, yの値を求 めよ。 log1x+ logiyを変形する前に,まず真数条件。 文字を減らす (2変数関数 (log_x+ log」yの最小値)条件 の利用 1文字消去 (1変数関数 log!(x の式)の最小値) 3 3 対応を考える (xの式)が最小となるとき 底に注意 最大?最小? Action》 logaf (x) の最大·最小は,f(x)の最大·最小を利用せよ キ301 (xの式)が口となるとき mmita/ 解x+y=6 より …D 真数は正であるから, x>0, ッ>0 より log1x+log」y= log1xy y=6-x 1与式をxだけで表す。 0<x<6 y=6-x>0 より xく6 与式は 3 3 3 = log」 x(6-x)go) 2 底は-(<1)より, log1x+log1yが最小となるのは, 底が0< <1より, 3 3 ソ=log』x は減少関数で ある。 真数x(6-x)が最大となるときである。 f(x) = x(6-x)とおくと f(x) =D -x°+6.x 9 ソーf(x) = ー (x-3)?+9 x軸との交点の x座標は x= 0, 6 軸は 直線 x =3 0<x<6 の範囲で, f(x) は x=3 のとき よって, log」 最大値9 3 61 x f(x)の最小値は log19= -2 1 log」9 logs9 1 logs 3 のより,x=3のとき したがって, log1x+log1y は y=6-3= 3 2 =-2 3 x= 3, y=3 のとき 最小値 -2 思考のプロセス|