この問題で、答えが11になるのですがなぜ間違っているか教えて欲しいです🙇‍♀️🙏

10 初項 1,公比 0.5 の無限等比級数において, 和Sと, 初項から第n項ま での部分和 S の差が、 初めて0.001 より小さくなるようなnの値を求 めよ。 p.116, 118

この問題の解説が全く分からないので解説お願いします！SnをS2nとS2n-1に分けているのは奇数項と偶数項とで分けるためだと思うのですが、なぜ、S2nに奇数項のが入っているのでしょうか？また、なぜS2nとS2n-1のlimが一致すれば収束になるのでしょうか？

部分和 の極限 1 1 2 82 無限級数 1+1+ の部分和を Sn とするとき, lim S2n, lim S2n-1 を求め, 無限級数の収束, 発 n→∞ n→∞ + + + 3 4 9 8 散を調べよ。収束するときはその和を求めよ。) ポイント③a+b+a+b2+α+・・・・・・ 部分和 S が1つの式で表せないときは, S2月, S2-1 などを求め て,両者の極限が一致するかどうかを調べる。 一致する→収束一致しない → 発散 10 1407 *

この問題をn項を求めてそれの1〜nまでの和をΣで求めてそれの極限を取ったのですが、この解き方で正しい答えが出ない理由を教えてください

う 394 次の無限級数の和を求めよ。 2 2 *(1) 2+ 1+2+1+2+3 1 1 1 +･･････ (2)

問題 次の無限級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めなさい。 答え 1 求め方がわかりません。 わかりやすく教えて下さると助かります。

2n+1 {n²(n+1)² (4) 】

①についてです。なぜ絶対値が付いているのでしょうか？ また、絶対値がつくとどのような意味になるのでしょうか。 ②も同様絶対値がついている理由が知りたいです。 ③ですがなぜ、自然数なのでしょうか。負も含めると考えてしまいました。 ④の変形がわかりません。 ⑤について、なぜ、＝... 続きを読む

1 1 16 無限等比級数 1+ = =+ = =+ = ²/3 ･+･･････ について, 次のものを求めよ。 十 5 52 53 (2) 和 S より小さくなるnの値 (1) 第n項までの部分和 S n (3) S と S との差が初めて 1 10000 17 平面上で,点Pが原点Oを出発してx軸の正の向き に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/23だけ進み, 次にx軸の負の向きに 1/22 だけ進み,次にy軸の負の 2² 1/2 22、 6

①についてです。なぜ絶対値が付いているのでしょうか？ また、絶対値がつくとどのような意味になるのでしょうか。 ②も同様絶対値がついている理由が知りたいです。 ③ですがなぜ、自然数なのでしょうか。負も含めると考えてしまいました。 ④の変形がわかりません。 ⑤について、なぜ、＝... 続きを読む

1 1 16 無限等比級数 1+ = =+ = =+ = ²/3 ･+･･････ について, 次のものを求めよ。 十 5 52 53 (2) 和 S より小さくなるnの値 (1) 第n項までの部分和 S n (3) S と S との差が初めて 1 10000 17 平面上で,点Pが原点Oを出発してx軸の正の向き に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/23だけ進み, 次にx軸の負の向きに 1/22 だけ進み,次にy軸の負の 2² 1/2 22、 6

この式はどのように導かれたのですか？

PR ②99 ①を変 よって 数列 {an-3) 12, 公 17/12 の等比数列であるから liman=lim ゆえに 118 + (1) 3.5 5.7 (2) √√ T+ +4 よって 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。」 1 +......+ (2n+1)(2n+3) + Sn=- 3 n-1 ² ( + ( + ) ² = ¹ + 2 } } = = = 1 √4+√7 第n項までの部分和をSn とする。 (1) 第n項は an ・+・・・・・・ + 1/2=1/(1/4) 1/1 = (3-2n+3) 2 +...... √3n-2+√3n+1 1 1 -√(2n + 3) = ² (2n²+1^2n+3) -1/{(1/13-1)+(-1)+ +(2n²=1_2n²+1)+(2n+₁=2n²+3)} 3 口部分分数に分か n→∞ の極限を ので, Sh= 3(2n+ 整理しなくて = 30 PR ②100 無限級数x+1+x+ で (1) 無限級数が収束す (2) 無限級数の和を f (1) 与えられた無限級数 数であるから, 収束す 1+2 |1x|<125, 11 より よって, 求めるxの x<-2, (2) x<-2,0 < x の f(x)=x 1-- x=0のとき f(x)=0 よって, グラフは のようになる。

なぜ、この式になるのでしょうか？

16 数直線上を原点から出発した点Pが次のように移動する。 点Pが近づく点の座標を求め よ。 (1) 正の向きに, 1, 1/12 (1) 2 ...... ・と移動し続ける。 2 正の向きに (13),負の向きに (1) 5 (2)正の向きに1,負の向きに / /,正の向きに 続ける。 ...... と移動し E

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。

S2n-1が1/nとなるのは何故ですか？

基本例題 125 2通りの部分和 S2n-1, S2 の利用 1/12/+/-1/3+1/11/+1/ 無限級数 1 ① について (1) 級数 ① の初項から第n項までの部分和を S” とするとき, S2n-1, San をそれ IO ぞれ求めよ。 (2) 級数 ① の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。 解答 指針▷ (1) S2-1 が求めやすい。 S2 は S2n=S2-1+ (第2n項) として求める。 (2) 前ページの基本例題124と異なり,ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは, Snを1通りに表すことが困難で,(1) のように, S2n-1, S2 の場合に分けて調べる。 THAHO そして,次のことを利用する。 MAC (1) S2n-1=1- =1- S2n=S2n-1- (2) (1) から 練習 $125 [1] limS2-1 = lim S2 = S ならば limS=S 72400 n→∞ [2] lim S2n-1⇒lim S2n 5 (2 n→∞ 1 1 1 ‚ - 1 - 1 2 + 1 - - 1 3 + 1 ² 3 - 1 + 1 -—-—-átás ké 2 n n -1-(1/2-1/21)-(1/3-1/31) (12/12/2)=1 ---- 1 n+1 limSn=1 (2) 2 1 =1- n+1 lim S2n-1=1, lim Son=lim(1)-1 n100 72-00 72-00 4 よって したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1 検討 無限級数の扱いに関する注意点 上の例題の無限級数の第n項を 1 1 n+1 818 1 + + (1) 2 3 2 + n→∞ 4 3 + 2 3 {S} は発散 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 Assn 1 1 + + ·+...... 32 + と考えてはいけない。 ( )が付いている場合は, n n 番目の( )を第n項としてよいが,( )が付いていない場合は, n番目の数が第n項となる。 注意 無限級数では、勝手に( )でくくったり、項の順序を変えてはならない! [例えば, S=1-1+1-1+1-1+ ····=(1-1)+(1-1)+(1-1) + ..... とみて, S=0 などと] 【したら大間違い! (Sは公比 -1 の無限等比級数のため,発散する。) ただし、有限個の和については,このような制限はない。 33 4 min+1 3 n する (1) - 1 + 基本124 n+1 n 部分和 (有限個の和)なら) ( )でくくってよい。 211 4.5+ 1 [参考] 無限級数が収束すれば, その級数を、順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は,もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。 n+2+ n+1 4章 15 無限級数 ast (S) Op.217 EX94