解答の2行目の「で連続であるから〜」の後の部分って、自分が付け足した1+0を根拠としてその後の式をたてても問題ありませんか？ なぜ極限の1−0とf(1)の二つを使うのでしょうか。

15 導関数 Example 15 ***** [ax2+bx-2 (x≧1) 関数f(x)をf(x)={1+(1-a)x2(x<1) 分可能となるような α, b の値を求めよ。 576 解答 f(x)がx=1で微分可能であるとき, f(x) は x=1 で連続であるから lim f(x)=f(1) lif x→1-0 x 110 11 1+(1-a)=a+b-2 よって ゆえに 2a+b=4 と定める。 f(x)がx=1で微 [芝浦工大] - 1+z=(2)₂2 pa key f(x) が x =α で 微分可能ならば, f(x) は x = α で連続。 また f(a+h)-f(a) h lim ん→+0

l>0であることは記述していますが 解答にて重要と書いている断りの後半は書いていませんでした。これだと記述不足ですかね？

138 00000 基本例題 85 2次関数の最大･最小と文章題 (2) 直角を挟む2辺の長さの和が20である直角三角形において, 斜辺の長さが最小 の直角三角形を求め、その斜辺の長さを求めよ。 SSPARELS 指針 まず何を変数に選ぶかであるが,ここでは直角を挟む2辺の和 が与えられているから, 直角を挟む一方の辺の長さをxとする。 三平方の定理から, 斜辺の長さは1=√f(x) の形。 ( そこで,まずp=f(x) の最小値を求める。 なお,xの変域に注意。 解答 直角を挟む2辺のうち一方の辺の長さを xとすると,他方の辺の長さは 20-x で表され, x>0, 20-x>0 であるから 0<x<20 ...... ① 斜辺の長さを1とすると, 三平方の定 理から I2=x2+(20-x) 2 1 1 CHART f(x)の最大・最小 平方したf(x) の最大・最小を考える 1 400 200 ○ 1 最小 が成り立つことを根拠にしている (数学ⅡIで学習)。 このことは,右の図から確認することができる。 なお,a<0,6<0のときは成り立たない。 10 20 x =2x²-40x+400 =2(x-10)'+200 ①の範囲で, lはx=10で最小値 200 をとる。 このとき、 他方の辺の長さは 20-10=10 >0であるから, が最小となるときも最小となる。 よって、求める直角三角形は,直角を挟む2辺の長さがともに 10 の直角二等辺三角形で、斜辺の長さは 200=10√2 x 検討 f(x)の最小値の代わりにf(x) の最小値を考えてよい理由 上の解答は, a > 0, 6> 0 のとき RE y4 a<b⇒a²<b² 変数xを定めxが何であ るかを書く。 @+ (E 1辺の長さは正であることを 利用してxの変域を求める。 620 基本84 √²+(20-x にはxの2次式。→基本 形に直してグラフをかく。 グラフは下に凸, 軸は直線x=10, 頂点は点 (10, 200) の断りは重要。 a² 20-x O y=x21 小 大 a b x AS 1.8Aas 練習 ∠B=90°, AB=5,BC=10 の △ABCがある。いま、点Pが頂点Bから出発し ② 85 て辺AB上を毎分1の速さでAまで進む。 また, 点QはPと同時に頂点Cから 出発して辺BC上を毎分2の速さでBまで進む。 このとき, 2点PQ間の距離 D間の距離を求め上

左の画像の問題を、右の画像の性質を利用して解くことは可能でしょうか…

重要 例題 99 2次方程式の共通解 2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも つように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 の SUND 指針2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができたら、 その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しかし, 例題の 方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では, 次の解法が一般的である。 2つの方程式の共通解をX=αとおいて,それぞれの方程式に代入すると TH10L 2a²+ka+4=0 1₁ _a²+a+k=0 (2) ...... ...... これをαkについての連立方程式とみて解く。 ②から導かれるk=-²-αを①に代入(kを消去)してもよいが,3次方程式となって 数学Iの範囲では解けない。この問題では,最高次の項であるα2 の項を消去することを 考える。 なお、共通の「実数解」 という問題の条件に注意。 CHART 方程式の共通解 共通解を x = α とおく ........ ...... 基本94 解答 共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると 2a²+ka+4=0 ①, a²+a+k=0 ② ① ①② ×2 から (k-2)a+4-2k=0 350 ゆえに (k-2)(a-2)=0 よって k=2 または α=2 [1] k=2のとき 2つの方程式はともにx2+x+2=0となり,この方程式の判数学Iの範囲では､ 別式をDとすると [4] D=12-4・1・2=-7 x=0の解を求める 210-x8 声が ②から 22+2+k=0 よって k=-6 このとき2つの方程式は 2x²-6x+4=0, x²+x-6=0 すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり,>< 解はそれぞれ x=1,2; x=2, -3 よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2をも α2 の項を消去。 この考え 連立1次方程式を加 減法で解くことに似ている。 D<0であるから, この方程式は実数解をもたない。 {ことはできない。 ゆえに,2つの方程式は共通の実数解をもたない。-+-fp= [2] α=2のとき 4001 x=2を①に代入してもよ い。 つ。 以上から = -6, 共通解はx=2 注意 上の解答では, 共通解 x=αをもつと仮定してαやんの値を求めているから, 求め た値に対して,実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかどうかを確認 しなければならない。 Pai

解答ではι²=f(x)から導いていますが、 最初からι=√f(x)で導くではダメなのでしょうか？

基本 例題 85 2次関数の最大取 000 直角を挟む2辺の長さの和が20である直角三角形において, 斜辺の長さが最小 の直角三角形を求め、その斜辺の長さを求めよ。 20337 TESTERYE 指針> まず、何を変数に選ぶかであるが,ここでは直角を挟む2辺の和 が与えられているから,直角を挟む一方の辺の長さをxとする。 三平方の定理から、斜辺の長さは√f(x) の形。 そこで,まず = f(x) の最小値を求める。 なお,xの変域に注意。 解答 直角を挟む2辺のうち一方の辺の長さを xとすると,他方の辺の長さは20-x で表され, x>0, 20-x>0 であるから ① 0<x<20 斜辺の長さを1とすると, 三平方の定 理から 12=x2+(20-x)2 ...... CHART f(x) の最大･最小 平方したf(x) の最大・最小を考える 400g 200 0 最小 10 20 x =2x2-40x+400 =2(x-10)'+200 ①の範囲で, l'はx=10で最小値200をとる。 このとき、 他方の辺の長さは 20-10=10 >0であるから, が最小となるときも最小となる。 よって, 求める直角三角形は,直角を挟む2辺の長さがともに 10の直角二等辺三角形で、斜辺の長さは /200=10√2 検討 f(x)の最小値の代わりにf(x) の最小値を考えてよい理由 上の解答は, a>0,6>0のとき yA a<b⇒a²<b² が成り立つことを根拠にしている (数学ⅡIで学習)。 このことは, 右の図から確認することができる。 なお,a<0,6<0のとき水は成り立たない。 変数xを定め、 xが何であ るかを書く。 62 基本84 1辺の長さは正であることを 利用してxの変域を求める。 2300 にはxの2次式。→基本 形に直してグラフをかく。 グラフは下に凸, 軸は直線x=10, 頂点は点 (10,200) a² √x+(20-x^2 20-x O y=x2 の断りは重要。 小 大 abx

河野玄斗さんの三角比の値をずらす動画を参考にして解いてみたのですがsin（90°-θ）＝cosθと解けたのですが、sin（180°-θ）＝-sinθになってしまいます。河野玄斗さんはcos（180°-θ）ではちゃんとできていたので何か根拠に基づいて解いているのでしょうか

(sin (20⁰-0) cost of. sin (120²2-0 介 -sin?

(3)の解答で分からないところがありました。 矢印のところです。これはどういうことですか？？

5 【III型選択問題】(配点 40点) k,m,n を正の整数とし, 等式 (α+p) d²+ 208 + p ² = 100α+ (24)= 4k+m!= n²+50 (+ 5 = 8/-/- 1 + X 4. a² 記 B L=2 …..(*) を考える. (1) 正の整数a に対して, a を4で割ったときの余りを求めよ. (2)≧4のとき, 等式 (*) を満たす k,m,nの組 (k, m, n) は存在しないことを 示せ . 等式 (*) を満たすk, m, n の組 (k, m, n) をすべて求めよ.

この答えを、考え方と一緒に解答して頂きたいです

問題ある道のりを行きは平均時速akm, 帰りはbkmで走った。 このとき往復にかかった時間と同じ時間で, 一定の速さで走るとすると時速 (ア) kmで走ればよい。 また, この (ア) を調和平均という。 上の文章に対する以下の各問いに答えよ。 (1) a,bを使って文章中の (ア) に入る式を表せ。 (2) a>0,b>0 のとき相加平均・相乗平均・ 調和平均の大小関係を答えよ。 また, その根拠を示せ。

赤い線の部分ってなんのために書かれているのでしょうか？？

基本例題 次の曲線の長さを求めよ。 (1) x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0, 0≤t≤2) 3 (2) y=2(e+e-t) (-6≤x≤6) CHAL CHART (1) dt 249 曲線の長さ (1) 曲線の長さ (1) L= 1=S₁ √ (dx)² + (dy) dt dt (2) L=Sv1+ydx を利用。 よって dx =a(1-cost), dy dt ITION. OLUTION a dt を利用。 tの範囲に注意。 =asint dv12 (dt) + (dt) = a*{(1-cost)² + sin²t} -COS = 01-AT-TA =2a²(1-cost)=4a²sin² 2 0≦t≦2のとき, 01/2πであるから sin/1/20 =2a [-2 cos 10 2 t 121 205 =8a t*0 2π か.380 基本事項 基本 248 nie y=2(ea+e) (a>0) ゆえに L=Sa'sin/1/dt=24S sin/12dt これをカテナリー(藤 けんすい せん 線)といい, ロープを、 両 端を持ってつり下げたとき にできる曲線であり,y軸 に関して対称(偶関数) で ある｡ atnia + y nie) 3/1 (2) v = ²³ ( 3² et - 1² e ¹3 ) = 1/-(et-e-5) bs-1200) A -e3- 23 3 1²21231=0)8205-S)A- *₂ 1 + y^² = 1 + {²/²(e² - e$))² = ( e ² + e^$) ² よって 1²K²_ L=S²₂1²(e²+e=) dx = 1/2 · 25° (e* + e + ³) dx ゆえに -6 -[xet-e +)-3(²-) *後で が出てくるの の形に変形してお .382 基本例題 248 (2) と同様の式変形。 =(1)'visuial if (1) の曲線はサイクロ イドである (p.95 参照)。 (2) の曲線の一般形 383 ya a x カテナリー (懸垂線)

常用対数について、(2)の後ろから7行目の部分で10^47<N<10^48とするところがなぜ大丈夫なのか分からないので解説して欲しいです。 変数の範囲を狭くするようなものなら大丈夫だろうなと思うのですが、これだとNの範囲が広まっている気がして納得できません。

logo30.4771 とする。 (1) 3" が 10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。 (②2) 3進法で表すと100桁の自然数Nを10進法で表すと何桁の数になるか 基本18 指針 (1) まず, 3" が 10桁の数であるということを不等式で表す。 3ケタ (2) 100 a povo 10'SNS 10° 進数Nの桁数の問題 不等式2桁-1≦N <k血数の形に表す 10進法で表したときの桁数を求めるには,不等式①から, 10″ 'N <10” の形を導き に従って、問題の条件を不等式で表すと たい。 そこで, 不等式 ① の各辺の常用対数をとる｡ (1) 3" が 10桁の数であるとき 各辺の常用対数をとると ゆえに ・・・･･･改訂版チャート式基礎からの数学A 基本例題 142 参照。 3100-1≤N<3100...... 9≤0.4771n<10 9 20.4771 {n< 10% 3" <10¹0 9≤nlogio3<10 10 10.4771 よって したがって 18.8≦x< 20.9•••••• この不等式を満たす最小の自然数nは n=19 (2) Nは3進法で表すと 100桁の自然数であるから 300SN < すなわち 399 ≦N <3100 各辺の常用対数をとると 9910g10310g10N <10010g 103 99×0.4771 log10N <100×0.4771 ゆえに すなわち 47.2329 Mlog10 N <47.71 よって 1047.2329 ≦N < 1047.71 ゆえに 107 <N1048 したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。 別解 10g10 3=0.4771 から 100.4771=3 ゆえに,398 N <3100 から (100.4771) 99 ≤N<(100.4771) 100 よって [047.2329≦] < 1047.71 ゆえに 107 <N<1048 したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。 Nがn桁の整数 →10"-¹N<10" この不等式を満たす自然 は,n=19, 20 であるが 「最小の」という条件が るので, n=19が解。 p=log. Ma'=M 議できる大きな数に 変換している

この問題の記述にグラフは必要ですか？

a<0, Ds (a<0, D< または「任意の 辛式が成り立つと が、すべての と。 二凸の放物線対 ある条件と同じ、 に接する ある条件と同 ごはなくDS!! 基本例題114 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件 ①①①① 0≦x≦8のすべてのxの値に対して,不等式 x²-2mx+m+6>0が成り立つよ うな定数mの値の範囲を求めよ。 [類 奈良大] 指針 この問題ではxの変域に制限があるから、 例題113と同じように考えてはダメ! そこで,問題をグラフにおき換えてみると、求める条件は 0≦x≦8の範囲でy=x²-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」 ということ。これを (区間内の最小値) > 0 と考えて進める。 CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える 解答 求める条件は 0≦x≦8 におけるf(x)=x²-2mx+m+6の最 小値が正となることである。 f(x)=(x-m)²-m²+m+6であるから、軸は直線x=m [1] m<0のとき, f(x)はx=0で最小 [1] り、最小値はf(0)=m+6 となり, ゆえに m+6>0 <0であるから(*) -6<m<0 [2]≦m≦8のとき, f(x)はx=mで最 小となり, 最小値は 練習 f(m)=-m²+m+6 ゆえにm²+m+6>0 すなわち ²-m-6<0 これを解くと, (m+2)(m-3)<0から 1-2<m <3 よって m>-6 0≦m≦8であるから 0≦m<3 (*) mmmmmmmmmm [3] 8<mのとき, f(x)はx=8で最小 となり、最小値f(8)=-15m+70 ゆえに,-15m+70>0から m< 14 3 POINT ...... これは8<m を満たさない。 求める の値の範囲は、①,②を合わせて 定ン] [2] [3] m 0m8 8x x m 08x -6<m<3 基本 79 f(x)=x²-2mx+m+6 (0≦x≦8) の最小値を求め る。 → p.130 例題 79 と同 様に,軸の位置が区間 0≦x≦8の左外か,内か, ------- 右外かで場合分け。 [1] 軸は区間の左外にあ るから、区間の左端 (x=0) で最小となる。 [2] 軸は区間内にあるか ら, 頂点 (x=m) で最小 となる。 [3] 軸は区間の右外にあ るから、区間の右端 (x=8) で最小となる。 (*) 場合分けの条件を満た すかどうかの確認を忘れずに。 [1], [2] では共通範囲をとる。 f(x) の符号が区間で一定である条件 区間でf(x) > 0 [区間内のf(x)の最小値]>0 区間でf(x)<0⇔[区間内のf(x)の最大値] < 0 合わせた範囲をとる。 DOTA f(x)=x²-2ax+a+2 とする。 0≦x≦3のすべてのxの値に対し この値の範囲を求めよ。 [類 東北学院大 ] 181 章 3 2次不等式 3章 13