高校生数学、数列の和です。 1つ目の写真の問題の(2)がわかりません💦2つ目の写真が模範解答なのですが、どうして黄線のようになるのかが理解できません。 どなたか、黄線への経過を含めて解説をお願いします🙇

基本 例題 17 一般項を求めて和の公式を利用 次の数列の初項から第n項までの和Sを求めよ。 (1) 1-1, 2-4, 3-7, 4.10, (2) 2,2+6,2+6+18.2+6+18 +54, [(2) 日本福祉大 ] p.375 基本事項 1,2,基本16

（3）がわかりません。 等比数列の和の公式を使っているのですが、 なぜ和の公式を使うのでしょうか

(1) (4k-5)= n( (4k-5)=n(ア n- (2) 宮k(k+1)= イ ウ n(n+ オ)(n+ カ)(ただし,オ< エ (3) 4.3k-1 = キ (ク n ケ) k=1

階差数列でk＝2からはじまるときどうすればいいですか？

Anti= On+n+ n-1 Anz Art Σ (k+1) K=2 c 3 + 1/2 (n-1) n + (n-1) - 2 1/4² - 1n+h = √ √²+h) ½ n²+gh = {^ (^+1) 2

1番囲ったとこと問題の意味がわかんないです

基 131 群数列 (1 精講 1から順に並べた自然数を 1/2, 3/4, 5, 6, 7/8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15/16, ... のように、第九群(n=1, 2, ...) が2"-1 個の数を含むように分け る. (1) 第n群の最初の数をnで表せ. 第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3)3000は第何群の何番目にあるか. ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる 列を考えるときは, 「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」 と考えます。このとき,第n群に入っている項の数を用意し, 各群の最後の に着目します。 (1)より、2"≦3000 <2" 第 (n-1) 群 2-1-1- 第 300 2"-1 ここで, 2 =2048,224096 211<3000<212 n= よって、第12群に含まれてい このとき、 第11群の最後の 3000-2047=953 より 30C 注1. 第12群に含まれてい 3000-20481と計算しな がちがってしまいます。 注2. (3) 2行目の27-1 2-1-1 <3000≦2"-1 なるでしょう. 注3.(1),(2)はnに具体 解答 . (1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数え (1+2+..+2"-2) 項目 . 各群の最後の数が基 ポイント もとの数 準 I. 第 すなわち, (2-1-1) 項目だからその数字は |等比数列の和の公式 II. E 2n-1-1 を用いて計算する III. I よって、第五群の最初の数は と考え (2"-1-1)+1=2"-1 (2)(1)より,第n群に含まれる数は

(1)です、どうやって赤線の式変形ができるのかわかりませんm(_ _)m

習問題 121 次の和 S, T をそれぞれ計算せよ. (1) S=1.2'+32 +52 +... +(2n-1)・2" (2) T=1・2'+22 +32 +・・・+n・22n-1

なんでこの問題って場合分けしないといけないんですか？

252 y=2sint-sint (0≧≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 面 媒介変数によって,x=2cost-cos2t 6 y CHART & SOLUTION 基本 156 基本例題156 では,tの変化に伴ってxは常に増加したが, この問題ではの変化が単調でないところがある。 とする y2 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。 したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を y2 とすると 求め る面積Sは 右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな る点を B(t=tでx座標が最大になるとする),t=xのとoco きの点をCとする。 B i-3 0 1 A xx t=0 t=to 曲線が往復 している区間 (a>0) S=Sydx-Sy yi dx x0 ! ら と表される。 よって,xの値の増減を調べ,x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。 また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。 解答 図から,0≦t≦πでは常に 2x-1200=xb (-xhie) logob log3-2 『 y≥0 onial また y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost -Dial =2sint(1-cost) inf. Ost≤ DE sint≧0, cost ≦1 から Dy=2sint(1-cost)≥0 としても, y≧0 がわかる。 よって, y=0 とすると sint = 0 または cost=1 0 から t=0, π 次に, x=2cost-cos 2t から から dxc == -2sint+2sin2t dt D =2sint+2(2sintcost) (小平 (八 =2sint(2cost-1) << において x=0 とすると, sint>0 で dt あるから t 20 π ・・・ cost= 2 ゆ t= + 3 0 「 よって、xの値の増減は右の表のようになる。分するよう! 1 XC -> 32 T ← B

なぜ½—(n-1)nになるのでしょうか？何か公式を使ったのですか？教えてください🙇‍♀️

20 [s] [1] (*) ※) (1-) (1) n≧2 のとき, 第1群から第 (n-1) 群までにある奇数 の個数は 1+2+3+…+(n-1)=1/12(n-1)n

2枚目が解答です、①の式の両辺に2を掛けているのはなぜですか?

1.4 16 次の和 S を求めよ。 Sn Sn=3・2+6・22+9・23+12.24 +・・・+3n2"

(2)の問題についてです！青い線のところでなんで項数がkになるんですか？k-1じゃないんですか？

442 基本 例題 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 20 一般項を求めて和の公式利用 00000 (2)1, 12, 1+2+22 ...... (1)12,32,52, 基本 1 19 32 指針 次の手順で求める。 ① まず 一般項を求める→ 2Σ (第に項)を計算。 Σk, k, Σk の公式や、場合によっては等比数列の和の k=1 公式を利用。 注意で,一般項を第n項としないで第k項としたのは,文字n が項数を表して →第k項をkの式で表す。 いるからである。 (2) ax=1+2+2+... +2k-1 ←等比数列の和 等比数列の和の公式を利用してak をkで表す。 CHART Σの計算 まず一般項 (第ん項) をんの式で表す 解答 (1) a 与えられた数列の第k項をα とし,求める和を Sn とする。 (2k-1)2 0 k=1 n k=1 k=1 n n よってSn=2ax=2(2k-1)=2(4k-4k+1)える ◆第ん項で一般項を考え る。 JJ k=1 k=1 =4k²-4k+Σ1 k=1 -/13n{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3} = (DX=(1+r) ◆1nでくくりの中 に分数が出てこないよう 11/13n(n-1)=1/13n(n+1)(2n-1)バーにする。 1/12(4-1)=1/13n(n+1) (n-1)(s) #30 (1) (*) (2) ak=1+2+2²+......+2k-1 = 1• (2-1) = 2k_st 143 n 2-1 Sn2=(2-1)=22-21 ak は初項1,公比2 数の等比数列の和。 よって k=1 k=1 k=1 k=1 参考 S, = (22~)と 2(2n-1) -n=2"+1-n-2 表すこともできる。 2-1 注意 和が求められたら, n=1,2,3として検算 するように心掛けるとよい。 例えば,(1)では,(*)において, n=1とすると1で これは 12 に等しく OK。 (*)において n=2とすると10で, 12+32=10 から OK。 4150 結羽 創 (

なぜ黄色の部分がk^2になるのかが分かりません！誰か教えてくださると嬉しいです！よろしくお願いいたします🙇

数学的帰納法による等式の証明 』を自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 1+3+5+･･･+ (2n-1) = n² 視点 19ページでは①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考 えた。数学的帰納法を用いることでも ①を証明できるだろうか。 証明 [1] n=1のとき (左辺) = 1 (右辺) = 12=1 よって、 ① は n=1のとき成り立つ。 [2] ① が n=kのとき成り立つ,すなわち 1 +3+5+ ･･･+(2k-1)=k と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。 n=k+1 のとき,①の左辺を ② を用いて変形すると = 1 +3 +5 + ･･･ +(2k-1)+{2(k+1)-1} = k + (2k+1) = (k+1)2 n=k+1 のとき, ①の右辺は (k+1) よって, ① は n = k+1のときにも成り立つ。 [1], [2] より すべての自然数nについて ①が成り立つ。 弘法を用