Question

ドーナツ

なんでこの問題って場合分けしないといけないんですか？

252
y=2sint-sint (0≧≦) と表される右図の曲線と,
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 面
媒介変数によって,x=2cost-cos2t
6
y
CHART & SOLUTION
基本 156
基本例題156 では,tの変化に伴ってxは常に増加したが,
この問題ではの変化が単調でないところがある。
とする
y2
この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり
x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。
したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を y2 とすると 求め
る面積Sは
右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな
る点を B(t=tでx座標が最大になるとする),t=xのとoco
きの点をCとする。
B
i-3
0
1
A
xx
t=0
t=to
曲線が往復
している区間
(a>0)
S=Sydx-Sy yi dx
x0
!
ら
と表される。
よって,xの値の増減を調べ,x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。
また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。
解答
図から,0≦t≦πでは常に
2x-1200=xb (-xhie)
logob
log3-2
『
y≥0
onial
また
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost
-Dial
=2sint(1-cost)
inf. Ost≤ DE
sint≧0, cost ≦1 から
Dy=2sint(1-cost)≥0
としても, y≧0 がわかる。
よって, y=0 とすると
sint = 0 または cost=1
0
から
t=0, π
次に, x=2cost-cos 2t から
から
dxc
== -2sint+2sin2t
dt
D
=2sint+2(2sintcost) (小平 (八
=2sint(2cost-1)
<< において x=0 とすると, sint>0 で
dt
あるから
t 20
π
・・・
cost=
2
ゆ
t=
+
3
0
「
よって、xの値の増減は右の表のようになる。分するよう!
1
XC
->
32
T
←
B

DO
156
osts
ゆえにおけるy を yi,
yをy とすると,求める面積Sは
2
S=Sdx-Sy₁dx
ここで,osts において,
≦t≦における
x=1 のとき t=0,
=0, x=2のとき
10
t=
3
であるから
S² y₁dx=S&dxdt
dt
また,
T≦t≦r において,
3
3
x= 12/2 のとき 1=23,x=-3のときt=π
π
であるから
dx
=
-dt
π
よって
3
3
S = S² + y2 dx - S²y, dx = S +4
S=
dx
dx=1
π
dx
dx
y-
・dt
-dt
dt
dx
dt
Jdt
0
Syd dt d
+ Szy dx dt = Syd
π
dt
+
dt
=(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt
=S(-2sin22t+6sin2tsint-4sin't)dt
ここで
=2f (sin22t-3sin2tsint+2sint)dt
253
YA
y2
131
S
t=0
y₁
-3
0 13x
S =
3
J32
+3/2
13/2
13
注意 yī と y2 は,xの式と
しては異なるから,
1 sdx-S³ vidx=Sydx
としてはいけない。
一方, tの式としては同じ
y(=2sint-sin2t) で表さ
Sf(x)dx=-Sf(x)dx
Sf(x)dx+Sf(x)dx
=Sof(x)dx
Sof(x)dx=-Sof(x)dx
6章
18
S sin2tdt=S.1-cos4tat=2/21t-1sinat] =
π π
sin20:
=
1-cos 20
2
==
2
S3sin2tsint dt = 3 2 sintcost sindt 積和の公式から
int
3sin2t sintdt
T
π
=
=6
sin't cost dt-sint(sint) dt-sin'-0
=
3
S2sin'tdt=2$"1-cos2tat=[1-12sin24] =
-sin2t =π0
2
2/21/13 sin3t-sin
==_g(cos3t-cost)dt
π
n
0
=0
したがって S=20
=2(27-0+7)=3
=3π
としてもよい。
(0.0).
linf.
この例題の曲線は,カージオイドの一部分である (p.153 まとめ参照)。

数3 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まーちゃん

がんばれ！！！

ドーナツ

分かりました、ありがとうございます