この問題教えてください解き方教えてくださいお願いします

2変数関数の最大 最小 例題 72 実数x, yを変数とする関数 a=x°+10y?-6.xy+2.x-2y+8 の最小値を求めよ。 また, そのときのx, yの値を求めよ。

こういう問題の時、最後はx,yが実数だから…というふうに範囲を絞りますが、x,yが虚数というのは考えてはいけないんですか？

140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) O000 重要 例題 (1) x, yの関数P3x°+3y°+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (1) 関数 y= (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (2) -1Sxミ 値を求め、 なお,(1),(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大) 指針> (1)特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 I x, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをま封。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がt 2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-p)°+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+bYy"+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}"+d(y-r)+s の形に刻 00 CHART 解答 (1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 ソ=t- t20の範囲 最小となる 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)?-2°+3y?-6y+2 てe=(x+2)°+3(y-1)?-3-1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 まず,x について基 よって (2) x-2x- t=(x S4次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの形 (x+2)°20,(y-1)。N0 | (実数)20 -1SxS1 x+2=0, y-1=0を x=-2, y=l yをtの ソ=t ①の範囲 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 ={x-(y-2)}-(y-2)°+2y°-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 =(x-y+2)°+(y+1)?-1?+2 8- t=-2 0S8+ x+●x+■の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2の ゆえに イ次に,yについて基 よって X, yは実数であるから よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 xーy+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと (x-y+2)20,(y+1)°z0 (実数)20 ゆえに よって x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18大 い 最小値をとるぁpo の解 ゆえに -1Sx= 以上から 連立方程式 0 ()(8 0)=(x 練習 X, yの関数 P=2x"+y?-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 練習 87(2) x, yの関数Q=x"-6xu+10 88 なか

こういう問題のとき、最後はx,yは実数だから…っていうふうにして範囲を絞っていくと思うんですけどx,yがなんで実数って確定するんですか？虚数ではダメなんですか？誰か教えてください！お願いします！

重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 「なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 OO00 重要 例題 (1) 関数 y= (2) -1Sxミ 値を求め。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大1 指針> (1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 Ix, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをます。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がtG 2次式とみる。そして, Pを基本形 a(x-b)°+qに変形。 2 残ったg(yの2次式)も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX°+by'+s (a>0, b>0, s は定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xyの項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}\+d(y-r)+sの形に刻 紙 CHART) 解答 の(1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 -方の文字を定数とみて処理 ソ=tー 解答 t20 の範囲 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)°-2°+3y?-6y+2 re=(x+2)°+3(y-1)-3·12-2 = (x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 ゆえに 最小となる (まず,x について基料。 よって (2) x°-2x- t=(x 5S▲次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの税 (x+2)°20, (y-1)20 (実数)20 -1SxSI (x+2=0, y-1=0を割 x=-2, y=l yをtの y=t のの範囲 x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y°-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 =(x-(y-2)}-(y-2)°+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 38- t=-2 0S+ x+ x+ の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2 の ゆえに イ次に,yについて基 KQ=ar+b?"+s0% (実数)20 よって x, yは実数であるから よって, Qはx-y+2=0, y+1=0 のとき最小となる。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと ゆえに よって (最小値をとるよ yの (連立方程式)の解 () 8 .0)=(c ゆえに x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18動大郎 -1Sx= 以上から (1) x, yの関数P=2x*+y°-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 87 (2) x, yの関数Q=x*-6xy+10u 練習 練習 88 なお 1) Dらと。

点(2p－X.2q－Y)がC上にあるとわかるのは何故ですか？

この方法 から、 を消去すると、 'ー1-ェ20により、 rS1 と いう条件がrに加わることに注意、消去される文 の条件が、残された文字の変域に制限を与えるのであ 「:」は比の意味 )にCという名 数のグラフはあ )などと表現す っ点のェ座標と 式という。 る。) 一文字消去が困離であったり、一文字消去の結果。 関数の形が複雑になりすぎて手におえなくなってしま うようなときは, 次のようにする。 6.3 逆手流 ある値をが求める値域に入る JS(x, y)=0 かつ g(x, y)=Dk を満たす実数工, yが存在する ととらえ,この(* )を成立させるためのkの範囲こそ が求める値域である。 これだけではよく分からないだろうから, 詳しくは p.66 のミニ講座「逆手流」を参照のこと. 2変数関数 =ッが変数で を考える。 る方法) 三(定数と る。 その 超ミニ講座·グラフの対称移動 数Iの座標の話題であるが, 平行移動と同様にと らえることができるので, ここで紹介しよう。 点対称移動 曲線C:y=f(ェ)を点(p. q)に関して対称移 動させて得られる曲線 C' の方程式は, また最小 こときの m(y) 次の手 2q-y=f(2p-ェ) (X,Y) [解説] 右図のようになる から, 点(X, Y)が C'上にある →点(2カーX, 2q-Y) イp.9) がC上にある → 2q-Y=f(2カ-X) (2p-X,2q-Y) *線対称移動 曲線C:y=f(ェ)を 工軸に関して折り返すと, 0 ーy=f(z) 9軸に関して折り返すと, リ=f(-x) 33

波線部の x.yは実数だから (x－2y)^2≧0となる理由が分かりません

OO 114 重要例題71 2変数関数の最大 最小 x, yを実数とするとき, x-4xy+7y°ー4y+3 の最小値を求め, のx, yの値を求めよ。 CHARTOSOI 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから, このに rとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。難しく考えす OLUTION yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。そして 基本形 a(x-p)。+q に変形する。 そして,更に残った定数項q(yの2次式) も 基本形 6(yーr)+s に変形する。 (実数)20 ここで,次の関係を利用する。 実数X, Yについて X°20, Y'0 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数)は X=Y=0 で最小値kをとる。 と定 解答 yを定築 いて平方 inf. xを x-4xy+7y?-4y+3 料が ={(x-2y)-(2y)}+7y°-4y+3 e+uS =(x-2y)?+3y?ー4y+3 e+ 平方完成す 2 (2 +3 2 as=(x-2y)?+3{{y なるが,編 7y°-4( 3 -(x-29)"+3{=})+ · | 7ゾー ールー 5 3 おいてm3D0 と x, yは実数であるから (x-2y20, (yー=0 +20-330 したがって, x-2y=0, y- 2 =0 すなわち 7 3 +3 4 2 x=. y=で最小値号をとる。 20-3- 5 3 3 の の最大 天

書き込みは無視して大丈夫です。 なぜ、重解を求めると最大値、最小値が求まるのか分かりません。

174 2変数関数の最大最小 (4) 実数解の条件利用 4次不等 O0 重要例題 115 基本 94 重要 実数x, yがx+y°=2を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また。そのときのx, yの値を求めよ。 (類南山大) S0 指針> 2x+yはx. yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいようにy=t-2x として yを消去し, x+y°=2 に代入すると *+(t-2x)?=2となり, xの2次方程式 になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ→ D20 日T>条件式は文字を減らす方針でいきたいが、 条件式x+y=2から文字を減らしても。 CH の利用。 CHART 最大·最小 =tとおいて, 実数解をもつ条件利用 解答 2x+y=t とおくと これをx+y°=2に代入すると 参考 実数 a. b. x, yにっ いて、次の不等式が成り立っ (コーシー·シュワルツの不 ソ=t-2x +(t-2x)°=2 5x?-4tx+t?ー2=0 等式)。 (ax+by)<(α+6)(+y) [等号成立は ay=bx] a=2, b=1を代入すると (2x+y)s(22+1°)(x+y) x°+y°=2 であるから (2x+y)°<10 整理すると このxについての2次方程式② が実数解をもつ条件から, ② の判別式をDとして D ー=(-2t)-5(ー2)=-(f-10)20 4 ゆえに t-10<0 よって ーV10 Sts/10 よって -4t t=±/10 のとき D=0 で, ② は重解r=- 2.5 をもつ。 2t 5. -10 S2x+yハ、10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして、 左と同じ答 えを導くことができる。 2/10 t=±/10 のとき x=± 5 V10 のから y=± 5 (複号同順) 2/10 したがって r= V10 ソ= 5 のとき最大値(10 5 2/10 xミー 5 V10 のとき最小値 - 10 リミー 5 25 D-0 当 実数x, yがx°-2xy+2y°=2を満たすとき 5 (1) xのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 (2) 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 ー

この問題の（2）の解き方が分からないので教えて欲しいです！

44 条件つき2変数関数の最大·最小 x+y=4 のとき,次の問に答えよ。 K +y° の最小値と,そのときの x, yの値を求めよ。 (2) x20, y20 とするとき, xのとり得る値の範囲を求めよ。また、 x+v° の最大値,最小値と,そのときの x, yの値を求めよ。

教えてください

119 2変数関数の最大 最小 (4) 187 OOOO0 /食数, yがx+y=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を /発めよ。また, そのときのx, yの値を求めよ。 封>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x?+y?=2から文字を減らしても, 要例題 びそのとき 【類南山大) 基本 98 基本86 2r+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいようにy=t-2xとして yを消去し, x*+y?=2 に代入すると +(t-2x)=2 となり, xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ=→ D20 の利用。 よい。 3章 CHART 最大 最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用 SUAHO THAH C 「答 の tリ=tとおくと これをx+y°=2に代入すると y=t-2x 参考 実数 a, b, x, yにつ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 x°+(t-2x)°=2 5x-4tx+t?-2=0 e次 等式)。 2 が2次 を消去する 鯉すると このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は、 0の判別式をDとすると (ax+by)<(α+6)(x+y) [等号成立はay=bx] a=2, b=1を代入すると D20 ここで 4 D20から 2-10<0 =(-2t)-5(-2)=-(f-10)るケ ( x°+y?=2であるから (2x+y)°<10 よって> -10 <2x+y</10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして, 左と同じ答 えを導くことができる。 これを解いて ー/10 Sts/10 1 -4t 2t に+/10 のとき D=0で, ② は重解x= をもつ。 5 2.5 に土、10 のとき x=± 5 2/10 V10 のから y=± 5 から (複号同順) したがって 2/10 /10 のとき最大値/10 x= ソ= のとき最小値 -V10| 5 2/10 V10 x=ー y=ー 5 ガんでD30りのに D=0だけ使うのか!! 32次不等式

記述の問題でどのような場合に実数であることを書かなければいけないのか教えてほしいです！

2変数 重要例題 83 yの関数 P=x°+3y*+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 19)x. ソの関数Q=x*-6xy+10y?-2x+2y+2の最小値を求めよ。 ) お(1).(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 基本 73 (豊橋技科大) や社>(1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 2章 このようなときは, 次のように考えるとよい。 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考えて, Pをまずxの 2次式とみる。そして, Pを基本形a(x-p)+qに変形。 2 残ったq(yの2次式)も, 基本形 6(yーr)+sに変形。 3 P=aX°+bY?+s (a>0. b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが, 方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}?+d(y-r) +sの形に変形。 10 1 1 AN 大阪 の CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)?-22+3y?-6y+2 =(x+2)°+3(y-1)?-3-13-2 =(x+2)°+3(y-1)°-5 x, yは実数であるから よって,Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。 x=-2, y=1のとき最小値 -5 (2) Q=x?-2(3y+1)x+10y?+2y+2 ={x-(3y+1)}"-(3y+1)°+10y°+2y+2 ={x-(3y+1)}+y?-4y+1 ={x-(3y+1)}?+(y-2)-22+1 =(x-(3y+1)}°+(y-2)?-3 x, yは実数であるから よって,Qはx-(3y+1)=0, y-2=0 のとき最小となる。 x-(3y+1)=0, ソ-2=0を解くと x=7, y=2のとき最小値 -3 まず,xについて基本形に。 次に,yについて基本形に。 (x+2)20. (y-1)"20 AP=aX?+bY2+sの形。 (実数)20 (x+2=0, yー1=0 を解く x=-2, y=1 と ゆえに Ax+●x+■の形に。 まず,x について基本形に。 次に,yについて基本形に。 AQ=aX°+bY2+sの形。 x-(3y+1) も実数。 {xー(3y+1)}?z0, (y-2)°z0 最小値をとるx, yの値は, 連立方程式 の解。 x=7, y=2 ゆえに 2次関数の最大最小と対

数1 二次関数 青チャート例題119 この問題ですが、 なぜ実数解をもつといえるのですか？ 基本的なこと聞いてすみません！！

重要例題119 実数 x, yがx+y=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。 2変数関数の最大最小 (4) [類南山大) 基本 98 指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式 x+y%=2から文字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2c+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x として yを消去し, x*+y?%=2 に代入すると x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式 になる。 るこの方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 合様 実数解をもつ→ D20 の利用。 # 44 .. のびう