積分の問題です。(2)の計算なんですけどこの場合結果がログになると思ったんですけどどうして違うのでしょうか。

318 数学ⅡI EX 次の定積分を求めよ。 $190cm) -43.dx HINT (1) ビー! とおく。 (2) (1) e²=12<2 x=logt. dx=dt とその対応は右のようになるから 1 Soe² +2e=²+3 dx = √ +3 ¹1 + ² + 3 2 2x+1 Jo x2+4 ゆえに -S₁ F²+31 +2 dt-S₁ (1+1)(1+2) dt =S₁7²+31+2 =S₁(1+1=1+2)dt = [log(t+1)-log(t+2)], よって 3(e+1) =log(e+1)-log(e+2)-(log 2-log 3)=log 2(e+2) 2 -dx= 2 dx Jo √√x²+4 2x dx $ 2x+1 dx-S 24 dx + √²+1 x²+4+x √√x²+4 (*) 0₂) 5 2+1 1 √x²+4 dx=dt + + -dx=dt at T dx - dx + S²₁²√x²+4 2+2√2 2 C2 2x Jo √√x²+4 の形。 2x S₁² √₂²³4 dx=S² (x²+4) dx = [2√x²+4]=4√2-4x20)¥ ©E, Joc² +4 次に,x+√x2+4=t とおくと 0→1 t 1-e dx [注意] √√x²+4 置換積分法による計算が2回必要になる。 x=2tan0 とおくと dx= do xと0の対応は右のようになる。 12 dx t 0 → 2 2 → 2+2√2 xtの対応は右のようになるから 72+2√2 = S² = √2+2/3 dt = [108 =[logt]+/= log(2+2√/2)-log 2 t 12 =log =log(1+√√2) したがって S.2x+1dx=4√2-4+log(1+√2) 2 cos²0 このように分けて積分する。 dx ( 12 S²√²+4=So √4tan ²0+4 · cos²0 de 2 ←置換積分法。 (1+(t+1)(t+2) (1-18) (+18) (1+√x²+4 )dx=dt_< <√**+A £star S ←部分分数に分解。 1 0 itsjef. は,次のようにして求めることもできるが, (t+2)-(t+1) (t+1)(t+2) 0- Joey X 0 → 2 π 4 ear →x+√√√x²+A=t おく。 1. V. e)s= ←√内 x2+4=x2+22の形→ x=2tan とおく。 1 tan²0+1 -=cos²0

数3積分の問題です。 最後の面積を求める計算で∫Xではなくてyを入れる理由がわからないです。面積を求める問題ではどのように判断してyかxを置くか決めているのでしょうか。

媒介変数表示の曲線と面積(1) 基本例題 244 重要 175 重要 245 00000 (osts 7 ) と表される曲線とx軸で [福岡大〕 FEOME いちよしにな 指針 媒介変数t を消去してy=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。 そこでx=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを 置換積分法で求める。 1 曲線とx軸の交点のx座標 (v=0となるもの値)を求める。 媒介変数tによって, x=4cost, y = sin2t 囲まれた部分の面積Sを求めよ。 解答 ②tの変化に伴う、xの値の変化やりの符号を調べる。 ③3面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。 s=Sydx=Sg(t)f(t)dta=f(a), b=f(B) π RECEP 0≤t≤ ① の範囲でy=0 となるtの値は また、①の範囲においては、 常に y ≧0である。 dx x=4costから -4sint, dx=-4 sintdt dt y=sin2t から dy dt =2cos2t であり、 == π とすると dt ゆえに,右のような表が得 られる(は減少は増 加を表す)。 よってS=Sydx/ =S₁sin2t· (–4 2 t dx dt 2t.(-4sint)dt =45** sin2t sintdt =8f5d sin' tcostdt 8 -* - - in²":1² - 3 -sin = xは単調に変化 dy 0 4 + 0 ... + K y₁ π 2√2 0 1 72 t=0, 7 2√2 π 2 π 2 (t=0) 4 xtの対応は次のようにな る。 t 0 → π った 2 x 4 → 0 8章 She sin' t(sint)'dt 38 面 積 また、Ostsではy≧0で あるから, 曲線はx軸の上側 のがある。 面積の計算では、積分区間・ 上下関係がわかればよいの だから、左の解答のように, 増減表や概形をかかなくても 面積を求めることはできる。 しかし、概形を調べないと面 積が求められない問題もある ので,そのときは左のように して調べなければならない。 12 ル

411(1)(2) (1)は√の中をtと置いていて、(2)は√ごとtと置いてるんですけど、何をtと置いたらいいのか見分け方を教えてください！

411 次の定積分を求めよ。 *(1) S₂(x+2)√3x+4 dx *(2) 4 x² o √√x+1 So-J dx

380(5)マーカー部分がなぜtー2になるのか分かりません。

e²x (5) √ (ex + 2)² dx

マーカー部分がなぜこうなるのか分からないので教えてください！あと、置換積分法で何をuと置いたらいいのか見極め方が分かりません💦

例題 次の不定積分を求めよ。 2 (1) Sx√x²+1 dx 解 (1) x2+1=u とおくと 2x dx=du Sx√x²+1 dx = 1/² √√√x² +1 • 2x dx (2) Scos²x sinxdx = 3 1 1/2 √ √ √ u du = =(x²+1)√x²+1+C 2 3 ● 23 už + C

数lll 377 (1)2枚目のマーカー部分を3枚目の写真のように計算したんですけど、この答えでも丸ですか？

*377 括弧内に示された置換により,次の不定積分を求めよ。 (1) Sx(3x-2)dx(3x-2=t) (2) S x+2 dx (x-1)3 海の不安八 tox L 「350 201

数学IIIです。置換積分のθの範囲は自分で好きなように定義していいのでしょうか？理由がしりたいです。 お願いします💦

66 x = asin0, x=atan0 とおく置換積分 次の定積分を求めよ. 1 - dx √4-x² 2 (1) S² So 解答 (1) x=2sind(s)とすると、 dx do であるから, 1 So 4-x (1) =2costより, dx=2cosedo 2 dx = T || 6 TL S-- (2) ²√4x² dx π = 5.6. π = 6² 1 4-4 sin²0 √4 cos²0 1 |2cos 1 2 cos 0 2 2 cos 0 de ･・ 2 cos e de ･・2 cos do π = £³1 do = [0]* - * * = 6 1 -1 x2 +3 (明治大/関西学院大/福島大) (3) S xC 0 0 0 dx IS π 6 x=0のとき, sin0=0 なので, 0=0 UMA ・cos do 一般に,AAである | x=1のとき、 ( sin 0 = =1/2なので、O=7 6 〇)(T) 積分区間の≧0≦に においてつねに 2 cos0 なので,|2cos0=2cos0 として絶対値を外してよい

xとθの対応関係について、 x=a(θーsinθ) にx=0、x=2πaを代入したときのθの求め方を教えて下さい。よろしくお願いします。

NE 02 において, サイクロイド x = a(0-sin0) y = a (1 - cos 0) とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 ただし, a>0とする。 求める面積は、 右の図の斜線部分の面 積である。 yはxの関数であるから, この面積をSとすれば 2πa S = fod y dx 0 ■2π dx do 3節 面積・体積・長さ 235 = = a(1- cos 0) であるから xと0の対応は右の表のようになる。 ゆえに、求める面積Sは サイクロイドの囲む図形の面積 である。置換積分法によって, 変数xを0に置き換える。 x = α(0-sin0 ) YA 2a πa 0 2max 0-2а 0→2π

写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せるのですか？ ②「cos(-θ)=cosθより、x軸対称」と書かれていますが、例えば、θ=πのとき、cos(-π)=-1,cos(π)=1であることから、y軸対称になるはずで... 続きを読む

（4）,(5)の解き方がわかりません。教えていただきたいです。

問3. 次の不定積分を求めよ. X 1(2x cots + 1)(x² + x − 2)³ dx Stan² an² x sec² x dx e²x (5) √ 4 € ² 4+ e²x dr ✓(2) sin³x x cos x dx (4) Co COS X √sin x (6) Scotx dr dx