三角形の重心の質問一覧

Qの座標について、x座標を求める式(青の波線部)がなぜその様になるのか教えて下さい！ Qのx座標は線分CAを2:1に内分する点だから、青の波線でBのx座標の4を足していますがA座標の2を足すのではないかと思ったのですが…。又、aが不明だからCのx座標は正か負か分からないのに... 続きを読む

第1問 (配点30) [1] aを正の実数とする。 Oを原点とする座標平面上に2点A(2,0),B(4,0) と直線y=ar があり、直線上に動点Pをとる。太郎さんと花子さんは,線分 AP と線分BPの長さの和が最小となるときの点Pの座標について話している。太郎: Pの座標を(t, at) とおいて, AP BPをtを用いて表すと式が複雑すぎて, 最小値を求めるのは大変そうだね。花子: それじゃ, 幾何を利用して考えたらどうだろう。点Bをに関して対称移動した点をCとすると, は線分BCの垂直二等分線だから, BP CP となるよね。だから AP + CP が最小になるような点Pが求めるべき点になるよ。太郎ということは, AP + BP が最小になるような点Pは3点A, P, Cが一直線上にあるとき,すなわちと直線ACの交点Qのときだね。花子: 求め方はわかったけれど, 点CやQの座標を求めるのにはどうしたらいいのかな。太郎:Cの座標を(p, g) とおいて, p, g の連立方程式を立ててみよう。花子: <POB=0とおき, tan0 を用いて点Cの座標を求めることもできるね。 (数学ⅡⅠ・数学B 第1問は次ページに続く。) /p+4 (P+4) (1) 点Bをに関して対称移動した点をCとする。 (i) Cの座標を(p, g) とおくと, ℓ1 BCであることから √p²q² = 4 [P²-9²-16) ap+4a-90- が成り立ち分 BCの中点が上にあることからが成り立つ。ア (3 6 1 ア <=0 である。イ = 0 (ii) ∠POB=0 とおくと, tan0 = エ 5 sine= p+aq +4 (0 p+a-4 p-aq-4 ap + q + 4a ap - g+4a ⑦ ap-g4a cos0= イ +9² 1 + a² (i) または (i) より, 点Cの座標はキ 9-0 P-4 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)| ① (5) a 1 + a² ウ Sa 1 + a² オ 6 Ha であり 16 4√Ha₂² さらに, OBOC, ∠BOC = 20 であることから, Cの座標を求めることができる。カ 1 a の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい｡) 50 0 (2 P - aq +4 ⑤ ap+q-4a (pia) 4 V1+α² 4(1-a² 1 + a² 140 B である。 P-4 1 1 + a² y 4 Q +4² X diy=ax \Q A(20) • x=-1 aq--P+4 aq+p-4.0 4 B(40) x 16+160² = x² X 16+16a² . =√16(H+a²) - 4√√H+a²

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数学高校生 2年弱前

（2）ですどうやってこの座標を出すんですか？

(1) 2点A(3, 1), B(-1, 2) をとる. 線分ABを3:2に内分する点と外分する点の座標を求めよ. (2) 3つの直線, x軸, 3x-y+6=0, 6x+5y-30=0 で囲まれる三角形の重心の座標を求めよ. 習問題 31

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数学高校生 2年弱前

数IIの平面上の点に関する質問です。なぜx = (1x₁+2(x₂+x₃)/2)/2+1 になるのでしょうか？さ

解説 ■三角形の重心 △ABC の重心は, 3辺BC, CA, ABの中点を,それぞれ D, E, F とすると, 3中線 AD, BE, CF の交点で,それぞれの中線を頂点から 2:1に内分する点である。 (x2+x x₂ + x² √₂+ y²) 右の図において, 点Dの座標は 2 2 であり,重心G は, 中線 AD を 2:1に内分する点であるから, G(x, y) とすると ? 同様にして 1・x1+2. x=- 2+1 1•x₁+2.x₂+x3) (AR 2 y=yi+y2+y3 3 ЯА x1+x2+x3 3 YA O -AS (E) +4 B (x2,y2) 51 F D A(x₁, y₁) E C(x₂

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数学高校生 2年弱前

数3 複素数チャート34です ❗マークの右式部分の分母z-aがなんでβ+γに変形できるのか教えてください⁝( ;ᾥ; )⁝

66 I 大切基本例断 34 三角形の重心を表す複素数単位円上の異なる3点A (w), B(B), C(y) と, この円上にない点H(2)につい等式z=a+β+y が成り立つとき, Hは△ABC の垂心であることを証明せよ [類九州大] 基本 33 針 r-B △ABCの垂心がHAH⊥BC, BH⊥CA r-B 例えば、AH⊥BCを次のように, 複素数を利用して示す。純虚数⇔ AHBC-B + 2-α [w が純虚数⇔ w=0 かつ w+w=0 (p.10 参照) を利用している。] また,3点A,B,Cは単位円上にあるから |l=|8|=|x|=1⇔ad=BB=yy=1 2-a これとz=a+β+yから得られる z-α=β+y を用いて, ! を β, y だけの等式に直して証明する｡ AC=AB(cos@tisine) CHART 垂直であることの証明 ABICD⇔ 解答 3点A(α), B(B), C (y) は単位円上にあるから |a|=|B|=|x|=1 すなわち |a|=|B|=|x|=1 よって ad=BB=xy=1 α = 0, B = 0, y=0 であるから a = ²-1², B= y=- a B' Y A, B, C, H はすべて異なる点であるから #X FyY+(-1)=0 よって、7-8 z-a 2 =B + (1-B)= X=B+Y=B=Y=B₁+Y-B BY B+Y 2-a βty Bty ? Y-B B+y + は純虚数である。 Y B + 1 B 1 Y AHLBC Y-B. 2-α ゆえに AH⊥BC 27 同様にして BHICA したがって,Hは△ABCの垂心である。 B-a ≠0 で Y-BB-Y + βty y+B 虚数 B(B) w= Y-B z-a 0-90⁰025 Ac AB=ù? A(a) H(z) 重要複素数平 (1) 線分 ↓ すこと AC AH⊥BC ⇔ とおくと, /C(y) ■B=1/17-12/1 B' w=0 かつ w=-w 例指針 (1) 解上の式で、α B.B が y. yがαに入れ替わる。

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数学高校生 2年弱前

緑の下線部の座標の置き方がよく分かりません教えてください

41:3のらそれぞれ ■に答えよ。 ■る確率をまれる確 (大) - 右ボから5 を取 100 立大 ) 第6章図形と方程式 23 第6章図形と方程式 4 46. △ABC の重心をG とする, 頂点Aの座標 (2,8,直線GB, CC の方程式は、それぞれ 13-12y=0, 9y+35=0 である。このとき点B, C, G の座標を求めよ. (福島大) e ¥47. 直線: 2x-3y+9=0 に関して点A (1,8) と対称な点をBとし､直に関してBと対称な点をCとする。 Cの座標が (34) のとき、次の問に答えよ. (1) 点Bの座標を求めよ. (2) 直線の方程式を求めよ. (3)とのなす角を80° < 8 <90°) とするとき, tane の値を求めよ. (東北学院大) 48. 座標平面上に定点A (a, a) がある。ただし, a>0とする. (1) 直線y=2x に関して点Aと対称となる点Bの座標を求めよ. (2) 直線y= 1/12に関して点と対称となる点Cの座標を求めよ. (3) 点Pは直線y=2x 上に, 点Qは直線y=-x上にあり, 3点 A, P, Q は同一直線上にないとする. このとき、三角形 APQ の周の長さを最小にする点PとQの座標を求めよ. (大阪工業大) 80 第6章図形と方程式 46 直線の方程式, 三角形の重心の座標 [解法のポイント 3点A(x,y), B (x2, y2), C(x3, ys) を頂点とする三角形の重心をG すると, 【解答】 Gは2直線よって, [ 13x-12y=0, x-9y+35=0 の交点であるから,この連立方程式を解くと, x=4, y= yityztys t G (hi+g+Za, Mi+y+us). 3 3 したがって, G(4, 13). B.Cはそれぞれ直線 13-12y=0, ²-9y+350 上の点であるから、 B(12s, 13s), C(9t-35, t) とおける. 三角形 ABC の重心がGであるから, よってこれを解いて, 13 3. *2+12s+ (9t-35) 8+13s+t 3 - 13s +¹)=(4, 13). 3 12s+9t-33=12, 13s+t+8=13. 12s+9t=45, 13s+t=5. s=0,t=5. 47 線対 B(0, 0), C(10, 5), G(4, 13). 解法のポイ (1) 2点 (3) 直とす【解答】 (1)

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数学高校生 2年弱前

(2)を正射影ベクトルを利用して解くことはできるんですか？教えてください🙇‍♀️‪‪

基本例題 25 垂心の位置ベクトル「平面上に△OAB があり, OA=5,OB=6, AB=7 とする。また, △OABの垂心をHとする。点A、Bをとる。サイ (1) COS ∠AOB を求めよ。点じが ② OA=d, OB=6 とするとき, OH を a, 6 を用いて表せ。指針三角形の重心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, △OABの垂心 Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH LO が成り立つ。上にとそこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に直して解く。 (2) では OH = sa + t とし, OA･BH = 0, OB･AH =0の2つの条件から,s,t の値を求める。 OP 52 +62-72 12 2.5.6 (I) 余弦定理から 1 2) (1) から a=la ||5|cos ∠AOB=5･6･ = 6 5 COS ∠AOB= p.400 基本事項 5 重要 28 60 5 (31 M ***** △OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと一致することはない。 Hは垂心であるから OA⊥BH. OBAH A H ・B 421 [参考] AB=16- =161²2-26-a+la12² |AB|=7, |a|=5,||=6であるから 72=62-25 ・a +52 よって 4.6=6

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数学高校生 2年弱前