1番の問題でマーカーが引いてある部分がなぜこうなるのかが分かりません。教えて下さい🙏🏻

38 数列{az} において (1) 一般項 αを求めよ。 (3) 1 1 を求めよ。 k=1ak 2 ak k=1 k = n(n+3) Set Up が成り立つ。 (2) 2chを求めよ。 k=1 第13章 数列 79 00000 [東京薬大]

数学　Σ 赤線のところの計算方法を教えていただきたいです。 2^（k-1）はできたのですが、後半のΣ1/2^kのところがわかりませんでした。 （補足） 解説と違って、画像2枚目のように解いたのですが、これでも解き方として合っていますか？

であるから, n≧2のとき b₁ = b² + (2 * - 1 - 2 A n 1 k=1 2k 2 2 = 2 + 29-1-1.1/1 =2"-1+ 1 2n-1

数学　数列 画像の問題ので、🟥の変形をするコツなどがあれば教えていただきたいです。 等比数列の形に持っていくためにやってるのは分かったのですが、いざ別の問題で自分でやってみろと言われたらどう変形すれば良いか困ってしまいそうなので…

例題13 次の各問いに答えよ。 (1)次のように定義される数列{a,の一般項を求めよ。 7 01=12.42=1/24. az 5 4' an = an-1-an-2 (n=3,4,5, …) (2)次のように定義される数列{bの一般項を求めよ。 5 63=17 -b... b₁ = 2, b₂ = 2, b₁ = 17, b₁ = 12b-1-12b-2+b-3 (n=4, 5, 6, ...) 4 n …) 解答 (1) a=2"-1- 2n = 12/17 (2)6=2"-1+ 2n-1 -an-1-an-2 5 an 解説 (1) a=201701-01-2 を2通りに変形して 1 == an - an-1 = 2 (am-1 - 1-an-2) (n≧3) am-20-1=1/2(0-1-20-2) 'n-1 ここで,10,11-1/20mlは公比2の等比数列であり、10円+120円は公 比 1/2の等比数列である。 よって, == 3 2 an+1-1/230m=102-1/2/24)27-1 == / ° 2"-1 ・① 2n-1 ② an+1-20,=(2-2a)(2) (①-②)×1/2より a₁ = 2-1 - an 1 2 • = \n-1 3 1 = 4 2-1 2-1-24 2n

数学の大学入試の問題です 6（2）がわかりません。 解説お願いします

を 6 [2021 神戸大] a を実数とする。 xの2次方程式x2+(a+1)x+α2-1=0について,次の問いに答えよ。 1個のさい (1)この2次方程式が異なる2つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ。 に出た目の (2)(1)で求めた範囲で動かすとき,この2次方程式の実数解がとりうる値の範囲を162> 標を 求めよ。 (2) 2次 (3) 2次 い。 3 ≥2 2'2b b 3 √3 等号が成り立つのは、 2-26 = 2 のとき、すなわち、 ✓のときであり、 これ 6 は b1 を満たす。 1 このとき②より すなわち a=+- √2 したがって, La= で最小値をとる。 6 [2021 神戸大] 率を求 11 [20 αを正 (1)の2次方程式x2+(a+1)x+α-1=0 の判別式をDとすると,D>0となること が条件である。 D=(a+1)2-4(q2-1)=-3a2+2a+5 =-(a+1)3a-5) (1) せ (2) (3) あるとき 表す。 D>0 から (a+1X3a-5)<0 よって、求めるαの値の範囲は -1<a< ...... ① (2)与えられた方程式をαについて整理すると a2+xa+x'+x-1=0 のと 14は素数でない。 これをαの2次方程式とみて、 ①の範囲に解をもつ条件を調べる。 f(a) =a2+xa+x²+x-1とおくと +2x'+x-1 数 6 y=2x から 放物線y=f(a)の軸は,直線である。 を a-t² [1] 1 すなわち2のとき f(-1)=x20 ようなCの接線の本数と一致する。 であるから, ①の範囲には解をもたない。 2-1-(-1)=a²+1>0 [2]11/3 すなわち -から, 点Aを通るようなCの接線 10 <x<2 ② Cの接線の方程式は,(1)より、 にする ことから, = 2ap+1, のとき、①の範囲に解をもつ条件は,f(-1)>0であるから ゆえに を通ることを示している。 二、 直線 PQ の方程式である。 すなわち +*+*-150 (x+2)(3x-2)≤0 (-2)50 よ。 って -2515 これは②を満たす。 x-- 16 (8)=x+1/+18=(x+1/3)20 であるから、①の範囲には解をもたない。 [1]~[3] から, 求めるxの値の範囲は -2515

下線のa≠0は分かりますが、bはなぜそのように言えるんですか？

基本(例題 8 ベクトルの平行と成分 00000 2つのベクトル a=(3, -1), 6=(7-2t, -5+t)が平行になるように,tの値 を定めよ。 [類 千葉工大 ] p.370 基本事項 3 指針 2つのベクトル=(a, as), = (b, ba) =0,d)について aka となる実数kがある A ⇔ab2-abi=0 B (証明は,下の検討を参照。) が成り立つ。 A, B のいずれかの平行条件を利用して、 方程式の問題に帰着させる。 1. 0 であるから, aとが平行になるための必要 7-2t=0かつ-5+t=0 解答 十分条件は,=ka を満たす実数 k が存在することである。 よって (7-2t, -5+t)=k(3, -1) となる tはない。 すなわち (7-2t, -5+t)=(3k, -k) ゆえに 4 7-2t=3k ①, -5+t=k ...... ② x成分成分がそれぞ ①+② ×3 から - 8+t=0 (0,0)-(1-2 1+2 れ等しい。 したがって t=8 このとき k=-30 別解 a = 0, の必要十分条件は 18 よって 0 であるから, a と が平行になるため (0.0)=(15+2+2 3・(-5+t(-1)(7-2t)=00=1 -15+3t+7-2t=0&s =0=51+ Dz したがってt=8 -1)=(-3, 2) 平行条件を利用。 AD-FCなどを考えて 冒 a=0, 6 = 0 のとき 成分で表された平行条件anabe-abı=0の証明 検討 al/kaとなる実数がある (p.362 基本事項 4 ) ⇒ (b1,62)=k(a1, a2) よって, aika1, b2=kaz となる実数kがあるから abz-azb=as(kaz-az(ka)=0 逆に, b2-ab=0 ...... A ならば, a≠0より, α と α2 の少なくとも一方は0でない。 3dXp0000 (=) α≠0 のとき, A から b2= a2 a1 b1=kとおくと,b=ka,b=kazとなり =ka (k は実数) a1 ゆえに 以上により allb α2≠0のときも同様である。 a bab₂-a2b₁=0 0=2 37

(2)について質問です。 一番右のように解いたのですが、答えが違いました💦 どこが間違ってるか指摘していただきたいです🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏🏻

問 165 四面体 (II) 座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり, ABを1辺と する正四面体 ABCD を考える. (1) YABI, AB AC を求めよ. (2) 辺AB をt: (1-t) に内分する点をPとするとき, PC・PD, IPC をtで表せ. A (3) CPD=0 とおくとき, cose をtで表せ. (4) cos A の最小値と,そのときのtの値を求めよ. 精講 (1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか? と 思った人は問題文の読み方が足りません。 「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体 でしょうか. 2) 164 のポイントにあるように,平面 PCD で切って平面の問題にいいかえ ます。 3) 空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです. (1) AB= (2,1,2) だから, JAB|=√4+1+4=3 解答 また,△ABCは正三角形だから, <BAC=,|AĆ|=|AB|=3 π 4.AB.AC=|AB||AC|cos 1/57 3 1 9 =3.3. 2 2 1-t B (2) PC=AC-AP=AC-tAB PD=AD-AP=AD-tAB .. PC・PD=(AC-tAB) (AD-tAB) =AC AD-tAB・AC-tAB・AD+t2|AB12

次の(3)の問題で左下の青線は絶対値をつけたまま計算していますが何故絶対値をつけて考えるのでしょうか？もう一つな右下の青線で何故2πを出すのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

1 Z1 = 2 √3 2 + i, Z2 = 1 + i のとき,次の複素数を極形式で表せ。ただ し、偏角0 の範囲は0≤0<2 とする。 21 (1)2122 (3)122 22 思考プロセス (1)「積を計算 → 極形式」 の順で考えると・・・ √3 +1 √3-1 2122=- ・+ i ← 偏角を求めにくい。 2 2 「極形式で表す ← 公式の利用 「積を計算」 の順で考えると [21=1(cosb1+isin Oi) 積 2122= rir2{cos(01+02) +isin(01+02)} 積 ・和 122=r2(cos02+isin (2) 21 r1 商 -{cos (01-02)+isin (01-02)} 22 12 ・差 商 Action》 複素数の積 (商) は, 絶対値の積 (商) と偏角の和 (差) を求めよ 2 2 解 21 COS +isin⋅ T, -π, 22 = √2 (cos / π π 4 +isin 7 ) より [Z1, 22 をそれぞれ極形式 で表す。 | 21 | = 1, |22| = √2, arg21 = 2 -π, argz2 = H4 22 = √√2 (+) (1) |182|=|21||22| 2 11 = √2, arg2122 = arg21 + arg2 = π 十 12 3 4 12 よって Z122=2cos √ 11 12 π+isin1/12) 21 21 2 21 5 (2) = う arg. = arg21 arg22= πT 22 22 2 22 12 4 23 5 12 21 よって = √2 5 COS 5 y π十isin 22 12 12π 2 8 (3) 21 = = 1, argz₁ = argz₁ = 1/2であるから 3 N 5 21 22 = 21 ||22|=√2, arg2122 = arg 1+argz2 = π 12 ■偏角 0 は 0≦0<2πで 考えるから Z1 Z2 の偏角 よって 2122= √2(cos 19 19 π+isin π 12 12 5 は 12+2x= 19 π 12 9-2

⑶からわからないです！自分の名刺を受け取る人1人の選び方の3通りはわかるのですが残りの数はどうやって出しますか、BCがもらう名刺の場合分けもしましたが3通りまでしかでないです。解説お願いしたいです🙇‍♀️答え21イ22イ23エ24エ25ウです。

5. A,B,Cの3人の名刺が2枚ずつ計6枚ある。 この6枚の名刺を任意に A,B, Cの3人に2枚ずつ渡す。 ただし, 6枚の名刺はそれぞれ区別がつくものとする。 [解答番号 21~25] (1) 3人の名刺の受け取り方は 21 通りある。 (2)3人とも自分の名刺を2枚とも受け取る確率は 22 である。 (3) 3人のうち自分の名刺を2枚とも受け取る人が1人だけである確率は 23 である。 (4)3人とも自分の名刺を1枚ずつ受け取る確率は 24 である。 (5)3人とも自分の名刺を1枚も受け取らない確率は 25 である。 21 ア.15 イ.90 ウ.360 I. 720 1 22 ア. イ. 180 23 ア 1-18 1-9 245 24 ア. 25 ア. 1-3 2-15 2/15 4 45 90 イ. イ. 45 イ. 45 HHHH 1-15 1-6 84 215 145 18-0 1-6 ウ. ウ.13 ウ. 90 1-9 ウ.

なぜ0°≦θ≦180°になるんですか 別に360°まででもいい気が、、教えてください。

基本 例題 12 内積の計算(成分) 次のベクトルα,6の内積と,そのなす角 0を求めよ。 00000 (1)=(-1, 1), 6=(√3-1, √3+1) (2) = (1,2) (1-3) /p.379 基本事項 4 指針 内積の成分による表現 a= (a1, a2), 万= (b1,62) のとき,a, ものなす角をする と a.b=a1b₁+a2b2 a.b cos 0= B |a||| 成分が与えられたベクトルの内積はAを利用して計算。 また、ベクトルのなす角はBを利用して, 三角方程式 cos0=α (-1≦a≦1) を解く 問題に帰着させる。 かくれた条件0°≦0≦180°に注意。 (1) 解答 また ろえる BC sin COS a1=(-1)x(√3-1)+1×(√3+1)=2 ||=√(−1)'+12=√2. =√√3-1)^2+(√3+1)²= √8=2√2 よって a coso= 2 |||| V2 ×2√2 0°0≦180°であるから (2) また 0=60° a = 1×1+2×(-3)=-5 lal=√12+2=√5, =√1+(-3)=√10 1 2 (x成分の積)+(y成分の積 ) (1) YA 1 P +60° 1x 0 -1-2 (2) 98 P -5 1 45° 135° h 0 0=135° -11 0 1x √2 a COS 0=- ab √√√√10 0°0≦180°であるから 余弦定理を利用してベクトルのなす角を求める 上の例題 (1) において, a, b のなす角 0は,次のように余弦定理を利用して求めることもで きる。 =OA, 6=OBとする。 2=n+(-n) A(-1, 1), B(√3-1√3+1), 0 = ∠AOB であるから よって OA2=(-1)'+1=2, B(v3-1,√3+1) A(-1,1)/ 2+8-6 1 2/22/2 2 OB2=(√3-1)^2+(√3+1)=8, AB={√3-1-(-1)}'+(√3+1-1)=6 Cos 0= OA2+ OB 2 - AB2 20A・OB 180°であるから 0=60° なす角 1192 CA 次の内県 GUNCA 646 (2つのベクトルα 母を求めよ (2)

詳しく教えてください🙇‍♀️

第3問~第5間は,いずれか2間を 第3問 (選択問題) (配点 20 an 3.3th-1) 等比数列 (α) の公比は正の実数であり、 数列 (2) は a. as -9, a₁-a,-72 3" a を満たすとする。 数列 (α) の初項は ア 公比はイである。 次に, 数列 (b)は 3 b,-1, bat140+α (n=1,2,3,...) b₁ を満たすとする。 ここで, Cm= (n=1,2,3,...) とおくと an 4 ウ オ キ G= Cn+1 + (n=1,2,3,...) エ カ ク 3 であるから ケ CR- である。 よって bm= である。 サ (n=1,2,3,...) ス (n=1,2,3,...)