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基本128.129
重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3)
| 方程式x2+ (2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
指針
条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」 であることに注意。
大きく分けて次のA B の2つの場合がある。
④ -1<x<1の範囲に 2つの解をもつ 重解は2つと考える)
B -1<x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
方程式の2つの解をα, β (α≦β) として, それぞれの場合につ
いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。
® は以下の4つの場合がありうるので注意する。
® [2]
® [3]
WAV
は
α
B x
-1<x<1の範囲に1つ、
x<-1 または1<x の範囲に1つ
解答判別式をDとする。
f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式f(x)=0 の
x=
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, その軸は直線
a-2
である。
2
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条
件は, y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異
なる2点で交わる, または接することである。
すなわち,次の (i)~(iv) が同時に成り立つことである。
(i) D≧ 0
(ii)軸が-1<x<1の範囲にある
(iii) f(-1)>0 (iv) f(1) > 0
(i) D=(2-α)²-4・1・(4-2a)
=α²+4a-12=(a+6)(a−2)
α=-1
D≧0から (a+b)(a-2)≧0
ゆえに a≤-6, 2≤a
-1 B1 x
x=-1と1<x<1
の範囲に1つ
よって
-2<a-2<2
ゆえに
0<a<4
(2)
(i) f(-1)=-α+3であるから
よって
a<3
(ii)軸 x = -
= a22 について-1<2<1
2
-a+3>0
A [1]
B [4]
BO
-1<x<1
の範囲に2つ
|x=
β=1
-1a1
x=1 と-1<x<1
の範囲に1つ
2-a
2.1
条件は
「少なくとも1つ」
であるから, y=f(x) の
グラフがx軸に接する
場合, すなわち, D=0
の場合も含まれる。
[1]
軸
|D=0/
1
D>0
X
