Question

Siro.:＊

解説では直接aの範囲を求めにいってるのですが、
〜以外がこの問題の解、みたいに補集合(?)のような考え方では解けないのでしょうか？
もし解けるとしたらその条件式を教えて頂きたいです🙇‍♀️🙏

214
00000
基本128.129
重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3)
| 方程式x2+ (2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
指針
条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」 であることに注意。
大きく分けて次のA B の2つの場合がある。
④ -1<x<1の範囲に 2つの解をもつ 重解は2つと考える)
B -1<x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
方程式の2つの解をα, β (α≦β) として, それぞれの場合につ
いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。
® は以下の4つの場合がありうるので注意する。
® [2]
® [3]
WAV
は
α
B x
-1<x<1の範囲に1つ、
x<-1 または1<x の範囲に1つ
解答判別式をDとする。
f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式f(x)=0 の
x=
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, その軸は直線
a-2
である。
2
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条
件は, y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異
なる2点で交わる, または接することである。
すなわち,次の (i)~(iv) が同時に成り立つことである。
(i) D≧ 0
(ii)軸が-1<x<1の範囲にある
(iii) f(-1)>0 (iv) f(1) > 0
(i) D=(2-α)²-4・1・(4-2a)
=α²+4a-12=(a+6)(a−2)
α=-1
D≧0から (a+b)(a-2)≧0
ゆえに a≤-6, 2≤a
-1 B1 x
x=-1と1<x<1
の範囲に1つ
よって
-2<a-2<2
ゆえに
0<a<4
(2)
(i) f(-1)=-α+3であるから
よって
a<3
(ii)軸 x = -
= a22 について-1<2<1
2
-a+3>0
A [1]
B [4]
BO
-1<x<1
の範囲に2つ
|x=
β=1
-1a1
x=1 と-1<x<1
の範囲に1つ
2-a
2.1
条件は
「少なくとも1つ」
であるから, y=f(x) の
グラフがx軸に接する
場合, すなわち, D=0
の場合も含まれる。
[1]
軸
|D=0/
1
D>0
X

(iv) f(1)=-3a+7であるから
よって
a<
4
①~④の共通範囲を求めて
2≤a<?
3
[2] 解の1つが-1<x<1にあり、他の解がx<-1
f(-1)/(1)<0
または1<xにあるための条件は
(-a+3)(-3a+7) <0
ゆえに
(a-3) (3a-7) <0
よって
[3]解の1つがx=-1のとき
f(-1)=0 から
-a+3=0
このとき, 方程式は
よって
(x+1)(x-2)=0
このとき, 方程式は
よって
-3a+7>0
9
7
ゆえに 1/3<a<?
x2-x-2=0
(x-1)(3x+2)=0
2
ゆえに,解はx=--
3
ゆえに
ゆえに,解はx= -1,2となり,条件を満たさない。
[4]解の1つがx=1のとき
f(1) = 0 から
-3a+7=0
a=3
3x2-x-2=0
ゆえに a=27/7
3
1となり,条件を満たす。
求めるαの値の範囲は, [1], [2] [4] の結果を合わせて
2≦a <3
| [2]
0
-6
[3] a=3
J
②点(-2,0)を通り,傾きαの直線である。
②点(-1,3)を通るとき
a=3
②が①と1<x<1で接するとき, 解答の [1] のDに
ついてD=0から (a+6)(a-2)=0
ゆえに α=-6, 2
図から α> 0, すなわち α=2のとき適する。
a=2のとき, x=0の点で接する)
よって、①と②が-1<x<1の範囲に共有点をもつの
は、グラフから 2≦a<3 のときである。
3
1x -1
2
または
2
[4] a='//
[4]
[1]|
7
2734 a
3
3
(1)
定数分離による解法
この問題は、方程式を 「(α を含まない式)=(αを含む式)」の形に変形し (αを分離するとい
う), 2つのグラフが共有点をもつ条件を求めることで解くこともできる。
別解 x2+ (2-a)x+4-2a=0
(*)を変形して
x2+2x+4=a(x+2)
方程式(*)が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことは,放物線
y=x2+2x+4
②
① と直線y=a(x+2)
が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの共有点をもつこと
と同じである。
a=3
-2
3
-10
201
0
3
215
a=2
-4
1
3章 19 2次不等式
X
1つの実数解をも
13

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

-1<x<1にひとつも解を持たない場合
を考えることになりますが、それは
D<0の場合とか
D=0かつ接点のx座標がx≦-1, 1≦xにある場合とか
D>0かつ交点2点がx≦-1にある場合とか
D>0かつ交点2点がx≦-1と1≦xに1つずつある場合とか
D>0かつ交点2点が1≦xにある場合とか
複雑だと思います