なぜ、xの値とtの値が対応してるのですか？ tとkの関係もわかりません。

例題 169 指数方程式の解の個数 方程式 4x-2x+2 + k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。 Action f(x)=hの実数解は, y=f(x)のグラフと直線y=kの共有点を調べよ ・12x=t(>0) とおき,与式をf(x) - ) =kの形に変形する。 解法の手順・ 2xの値とtの値の対応を考える。 3|y=f(t) のグラフを利用して, 実数解の個数を調べる。 解答 与えられた方程式を変形すると -(2x)2 +4.2% = k ... ① 2* = t とおくと, t>0 であり - t² + 4t = k ここで,xの各値に対して tがただ1つ求まり、逆にt> 0 を満たすtの値に対してもxの値が必ず1つ定まるから, 方程式 ① の異なる実数解の個数は,t の方程式②のt> 0 における実数解の個数と一致する。 ここで, f(t)= t + 4t とおくと f(t)=-(t-2)2 +4 方程式f(t)=kのt> 0 を満たす実数 解は, y = f(t)(t> 0) のグラフと直線 y=kの共有点の座標である。 したがって、右のグラフより 求める実数解の個数は k> 4 のとき 0個 k=4,k≦0のとき 1個 0<k<4 のとき 2個 4 O _y=f(t) y=k →例題167, IA115 2 4 4°= (22)*= (2) 2 2x+2 = 2.22 = 4.2x これらのことは, グラ フからも明らかである。 t=2 O 1対1 x 10 2 4 t (もとの方程式の実数解xの個数)=(f(t)=kの正解tの個数) 20個 1個 2個 1個 とくに, k=4,k=0 の とき共有点は1個である ことに注意する。 Pointh 方程式f(t)=kの実数解の個数 例題169 では,2" tと置き換えたが,正の数の値とxの値は1対1に対応するから, y=f(t)(t> 0) と y=kの共有点の個数がそのままもとの方程式 ① の実数解の個数 となる。 =(y=f(t) (t> 0) と y = k の共有点の個数) 4章 4 指数関数

中断くらいに矢印書いてるですが、なぜ赤の式から下の式になったのか教えてください

0≦y≦x≦nを満たす x, y について p=2sinx+siny, q=2cosx+cosy 140 加法定理の応用 とおく。 (1) cos(x-y) をb, g を用いて表せ。 (2) +α°= 3 が成り立つとき,yをxの式で表せ。 Action sin(α ±β), cos (a±B), tan (α±β) の値は、 加法定理を用いよ 解法の手順・ 【解答 (1) p = 2sinx + siny の両辺を2乗すると g = 2cosx+cosy の両辺を2乗すると q² = 4cos²x+4cosx cosy + cos² y ここで ・1与えられた2つの条件式の両辺をそれぞれ2乗する。 21で得られた2式の辺々を加える。 3|加法定理や相互関係を用いて, cos(x-y) をb,g を用いて表す。 p=4sinx +4sinxsiny+sin'y…① ① ② の辺々を加えると p² +q² = 4(sin² x + cos²x) + 4(cosx cosy +sinxsiny) + (sin² y + cos² y) 2? を代入すると って cosxcosy + sin xsiny cos(x − y) sin' x + cos' x = sin'y+cos'y = 1 p²+q² = 5+4cos(x - y) cos(x - y) = (②2) g² = 3③ に代入すると 1 cos(x-y)= 2 y≦x より 0≦xy≦πであるから 2 3 x-y= = - p²+q²-5 4 12/27 すなわち y=x- π 3 例題 139 π cos(x-y) = cos x cosy +sin.xsin y であるから, cosx cosy と sin xsiny が 現れるように、与えられ た条件式の両辺を2乗す る。 x-yの値のとり得る範 囲に注意する。 3章 加法定理

全然分かりません。 グラフで考えてるのですが、単位円で考えられないですか？

例題127, 137, 147 0≦02 のとき, 関数 y = sin20-2sin02cos0+1 について 一例題150 sin0, cos0 の対称式である関数の最大・最小 (1) sin+cose = t とおくとき,yをtの式で表せ。 また,tのとり得る値 の範囲を求めよ。 (2) y の最大値と最小値,およびそのときの0の値を求めよ。 Action sino, cose の対称式は, t = sin0+cos0 と置き換えよ 解法の手順・ 12倍角の公式より, 角を0にそろえる。 2t = sin+cost を2乗して, sindcose をtの式で表す。 3三角関数の合成を利用して,t の値の範囲を求める。 解答 (1) y = 2sin cos0-2(sin0+ cos0)+1 ここで sin+cost の両辺を2乗すると t² - 1 sinocost= 1+2sin cos0 = t² kh t² - 1 2 よって y = 2. π 4 さらに 0≦0 <2πであるから (2) y=f2-2t=(t-1)2-1 右の図より,-√2 ≦t≦√2の範囲で yはt=-√2 のとき最大値 2+2√2 t=1のとき 最小値-1 t = sine + cos0 = √√√2 sin 0- したがって − 2t+1 = t² − 2t 0≦0<2πより, π 9 ≤0+ < 4 4 =√2 のとき sin (04)=-1より0= == 0 = = √2 sin(0+1) 150 0 <A < 2 T πであるから 0 = 0, -√2 ≤t≤√2 A $3. π π t=1のとき sin (+1)=1/1/1より0=0.4 0, 2 π √20 2+2√2 5 πのとき 最大値2+2√2 4 眼 のとき 最小値-1 √2 π DEL 2倍角の公式 (sin+cos0 ) 2 = sin20+2sinAcost+cos' =1+2sin@cost YA 4 T x π 9 ≤0 + < ²/ x *) より 4 -1 ≤ sin(0+4) ≤1 -√2 ≤ √2 sin(0+1)=√² π 3 10+ 4 = ²³/12* π π π <0+ 4 = 4, 3/1 -T 4

(1)です △ABCと△ACMは合同らしいのですが、さの二つは高さが一緒と書いてあります。でも、本当に∠AMC ∠AMCが90°と、いえるのでしょうか？よくわかりません

例題 83 面積を分割する直線 3点A(4,5),B(1, 2), C(9,4)を頂点とする △ABCについて ✓① (1) 点Aを通り, △ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。 10 (②2) 直線AB に平行で, △ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。 Action ! 2つの三角形の面積の比は、底辺や高さの比、相似比に着目せよ 解法の手順･･･････1 | (1) は, BC を底辺とみて求める直線と辺BCの交点を求める。 2 (2) は,相似比から求める直線と辺BCの交点を求める。 3通過点や傾きから直線の方程式を求める。 解答 (1) 求める直線と辺BCの交点をMとすると､ △ABM = △ACM となるとき, M は辺BCの中点である。 よって, 点 M の座標は 1+9 (+4) すなわち (5,3) 2 2 求める直線は2点A, M を通るから,その方程式は y-5= , 3-5 <? - (x-4) すなわち y=-2x+13 5-4 →例題 72,76 ■BM, CM を底辺とみると, 高さは同じであるから AABM: AACM = BM : CM ya B(1,2) A(4,5) M C(9,4)

中段よりちょい上くらいのところです。 なぜいきなりax^2+bx+cを(x+1)^2で割っているのですか？p(x)の整式ってわかってませんよね

FREM 例題 40 剰余の定理の応用 →例題39 整式P(x) をx-2で割ると 18余り, (x+1)^ で割ると -x+2余る。 このとき,P(x) を (x-2)(x+1)^ で割ったときの余りを求めよ。 Action 整式を整式で割った余りは、剰余の関係式 A = BQ+ R を利用せよ 解法の手順･･･ ・1商をQ(x), 余りを ax²+bx+c とおき, 剰余の関係式をたてる。 2剰余の定理を用いて a, b,c の式をつくる。 3 | ax²+bx+c を (x+1)2で割ったときの余りを求め ...... 解答 P(x) を (x-2)(x+1)^ で割ったときの商をQ(x), 余りを ax2+bx+c とおくと P(x)=(x-2)(x+1)^Q(x)+ax+bx+c_ P(x) をx-2で割ると18余るから, P(2) 18 より 4a+26+c = 18 ... 2 次に, ax²+bx+c を (x+1) で割ると、 商が α, 余りが (b-2a)x+(c-α) となることから ax2+bx+c=a(x+1)+(b-2a)x+(c-a) (...3 (8+x) ③① に代入すると P(x) = (x-2)(x+1)^Q(x)+α (x+1)+(b-2ax+(c-a) =(x+1)^{(x-2)Q(x)+α}+(b-2a)x+(c-a) よって, P(x) を (x+1) で割ったときの余りも (b-2a)x+(c-α) これがx+2となることから, 係数を比較して 6-2a=-1... ④, c-a=2... ⑤ ② ④ ⑤ を連立して解くと α = 2,6=3,c=4 a したがって、求める余りは 2.x² +3x+4 らえるこし ・･①ある。 余りは2次以下の整式で a x2 +2x+1) ax²+bx+c ax2+2ax+a (b-2a)x+c-a (6-2a)x+(c-a) = -x+2 -1 2 1

なぜ、一番左と真ん中を比較して=2/3(n+1)√n+1になればいいんですか？

例題 243 定積分と不等式 [2] 自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。 Action 数列の和の不等式は, 曲線とx軸で囲まれた部分と長方形の面積の和を比較せよ ....... 1/y=√x が増加関数であることを確認する。 2 y=√xとx軸で囲まれた部分と長方形の面積の和を比較する 32 の不等式に k = 1, 2, ..., n(n+1) を代入し, 辺々を加える 解法の手順･・ 2 ² n√n <√ [ + √² + √√3+ ··· + √ n < 1/3 ( n + 1 ) √n + I 解答 x≧0 y=√xは増加関数である。 自然数んに対して, k-1<x<んのとき √k-1<√x <√k よって .k **b5 √k=1</² √ √xdx < √k すなわち ここで √ √k-1dx <f", √x dx <S", √ dx k-1 k-1 k-1 n+1 ck √k=1<f",√xdx *) √k=1<2/²₁ √x dx より ここで n+1 k=1 n+1 2 √x dx = √ √x dx + √ √x dx + ... + √x dx S k=1k-1 In xx √ √x dx < √k xD k-1 n+1 en+1 2 2 = " " " √x dx = ²/3 [x√x]" " = }} (n+1)√n+1 3 10 2 £₂€ √[+√2+√3+...+√n < ² (n+1)√n+ 1 - ① ... 3 •n+1 k n #₂ √x dx < Ž√ k k=1k-1 k=1 n ・k •n 2", √x dx = √ √x dx + √ √x dx + ... + √ √x dx k=1Jk-1 n-1 2 = ["√x dx = /²/ [x√x]" = ²/3 n√n. 3 したがって, ①, ② より 2 *₂€ ²/² n√n<√[+√² + √3+ ... + √ñ よって ²/² n√n <√ [ + √2 + √5 + . . . + √ñ < ²/² (n+1)√n+ 1 映習 243 2 以上の自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。 log(n+1)<1+= 1+1 yl √E √k- √k-1 例題242 両辺に y=√√x 両辺に k-1 k x $11 k-1 k 面積の大小関係を表して いる。 √k< k=1, 2, ..., n+1 を代入して辺々を加える。 k=1,2,..., n を代入して辺々を加える。 例題 次の (1) AC 解法 合 LE (1)

増減表のプラスマイナスの判断の仕方を教えてください。単位円使う方法で教えて欲しいです。

例題 171 関数の極値 〔2〕･･･ 三角関数 次の関数の極値を求めよ。 (1) y=x-sin2x (0 ≤ x ≤ π) 思考プロセス <ReAction 関数の増減は,導関数の符号を調べよ 例題 170 段階的に考える 例題170と同様に考える。 三角関数の注意点… y'の符号は単位円などを利用する。 (1)y=x-sin2x について y'=1-2cos2x y'=0とおくと cos2x= 119 x 0 J' y 20 ... ゆえにx= x = π5 0≦x≦xの範囲で 6'6 よって,yの増減表は次のようになる。 T 5 π 6 0 /3 π 6 2 T = X= のとき ... + 1 7 2 5 6 6 π 極小値 園の恋 (2) y sin 2x-2cosx (0 ≤ x ≤ 2π) ・πT 0 九十 √√3 2 : + 5 π+ のとき 極大値 6 ✓ 0/007 10/²007 π 6 2 (SOCH F 3- gansk R π 240 *** I cos2x: = 2x: ([+S π 'の符号の考え方は, Play Back 22 を参照。 YA 2 TC 5 3' 3" T OL-6 より 16 BALE 27+√30 :+ π 2 5 6 π X

ベクトルの問題において点が与えられたときP(→p)と書かれていることがありますが、何故この時は始点をOと考えるのでしょうか。 位置ベクトルは始点が任意なのでO以外でも始点は取れると思うのですが、画像のように問題文に基準点が明記されずに位置ベクトルが出てきたとき始点が原点と... 続きを読む

例題 347 円のベクトル方程式 2つの定点A(a), B(6) と動点P (p) がある。 次のベクトル方程式で表さ れる点Pはどのような図形をえがくか。 思考プロセス 332 (1) 3p-a-2b = 6 図で考える 円のベクトル方程式は2つの形がある。 (ア) 中心Cからの距離が一定(r) CP=OP-OC| = r (2) (2p-a). p-6)=0 (OP-OA)・(OP-OB) = 0 (1) 3p-a-2b = 6 kbp a+26 (イ) 直径 AB に対する円周角は90° APBP = 0 これらの形になるように, 式変形する。 Action》 円のベクトル方程式は,中心からの距離や円周角を考えよ a+26 = 2 Ⓒ = OC とすると,点 Cは線分 AB を 2:1 ここで, に内分する点であり |OP-OC|=2 すなわち, |CP|= 2であるから, 点Pは点Cからの距 離が2の点である。方式 よって, 点Pは,線分 AB を 2:1 に内分する点を中心とする半径 2 の円をえがく。 (②2) (②万面)・(五一)=0 より (-1/2)・(五一)=0 2 B (イ) ここで 12 OD とすると,点Dは線分 OA の中点で (OP-OD) (OP-OB) = 0 あり すなわち, DP･BP = 0 であるから DP = 0 または BP = 0 または DP + BP ゆえに,点Pは点Bまたは点Dに一致 するか, <BPD=90° となる点である。 したがって, 点Pは,線分 OA の中点 D に対し,線分 BDを直径とする A カーロ=r の形になる ように変形する。 B の係数を1にするため に,両辺を3で割る。 より OC = a+2b 2+1 (カーロ・カーロ)=0 の 形になるように変形する。 a=0のとき a = = に注意

赤のところが分かりません。 よろしくお願いします

例題 35 2次方程式の整数解 次の2次方程式が異なる2つの整数解をもつように、 定数αの値を定めよ。 (1) x²ax+α²-2a=0 (2) - ax-a+3=0 思考プロセス (1) 候補を絞り込む 条件をゆるくして考える。 異なる2つの整数解 少なくとも異なる2つの実数解 判別式 D > 0 より 条件をゆるくして考えたから,解が実際に家になるか確かめる。 の範囲を絞り込む (2) (1) のように, D> 0 からaの範囲が絞り込めない。 未知のものを文字でおく 整数解をα, β とおく 解と係数の関係 [a+B=a laβ=-a+3 Action>> 2次方程式の整数解は, 判別式, 解と係数の関係を使え 解 (1) 2次方程式の判別式をDとすると D=(-α)2-4(q²-2a) = -3a²+8a 方程式が異なる2つの実数解をもつから α消去 これを解くと x = いから、不適。 (イ) α = 2 のとき, 方程式は 3 よって, 3a (a-1/28) <0より 0<a< ここで、この方程式の2つの整数解を α, β とすると, 解と 係数の関係により, α+β=α であるから,α も整数である。 ゆえに, ① より a=1,2 (ア) α=1のとき, 方程式は 1±√5 2 a+ß = a, aß = = a +³2? 方程式 式 D>0 18+) +場合である。) αを消去して aß+a+k=3 よって (+1)(+1)=4 α, βは整数より, α+1, β+1 も整数であり, α + 1 < β+1 であるから =0 JR SE (a+1,β+1)=(-4,-1),(1,4 よって (a, B)= (-5, -2), (0, 3) したがって 求める α の値は a = -7, 3 友 整数解は実数解の特別な x-x-1=0a+og となり,整数解をもたな解の公式による x2-2x=0a+⑤.① よって, x=0, 2 となり、 異なる2つの整数解をもつ。 (ア), (イ) より 求めるαの値は a = 2 (2) 2次方程式の2つの整数解をα, β (α <β) とすると, 解と係数の関係により 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つ の解をα, βとすると b a' |a+B== ₁ aß = SOSIDH 実数解をもつ条件より |D=(-a)²-4(-a+3) >0 a<-6, 2 <a であるが、これを満たす整 数αは無数にあるため、 aの値は定まらない。 E) 40 <a=a+B 練習 35 次の2次方程式が異なる2つの整数解をもつように、 定数 α の値を定めよ。 (1) x- (a+3)x+α²-1 = 0 (2) x-2ax+α - 2 = 0 p.68 問題

詳しく解説お願いします よろしくお願いします

の一般 の値に = () () [例題] 思考プロセス 8 二項定理の応用 (1) 11100 の十の位の数と一の位の数を求めよ。 (2) 2121400で割ったときの余りを求めよ。 式を分ける (1) 百の位以上の数をなるべく除いて考えたい。 (2400(20) で割り切れる部分を分ける。 明らかに 100で割り切れる部分を分ける。 11100 = (10+ 1)100 = (1+10) 100 = 100 Co + 100C1 ・ 10' + 100C2・102 + ... +100C100・10100 KOTE 2013 2121 = (20+1)^1 = (1+20)21 = 21Co+ 21C120' + 21C2・202+ … +21C21・2021 Action>> N” の下桁の値は、 二項定理を用いよ 解 (1) 11100 (10+ 1)100 = (1 +10) 100 = 練習 8 = 100Co1 + 100C110' + 100 C2102 + ･・・ + 100 C100 10100 ここで,r2 のとき 100 C 10 は 100の倍数であるから, 100 C2102 + ･･･ + 100 C100 1010 は 100の倍数である。 また 100 Col + 100C110' = 1 × 1 + 100 x 10 = 1001 したがって, 11100 の十の位の数は 0, 一の位の数は 1 (2) 2121 = (20+1)^1 = (1 +20)21 = 21Co1 + 21C120' + 21 C2202 + ･･･ + 21 C212021 ここで,r2のとき 21 C20 は 202=400 の倍数であ るから, 21 C2202 + ･･･ + 21 C212021 は 400の倍数である。 よって, 2121 を400で割ったときの余りは, ケア21 Co1 + 21 C120' を 400で割ったときの余りに等しい。 21 Col+ 21C120'=1×1+21×20 = 421 = 400 +21 したがって, 2121 を 400で割った余りは 21 Point... 整数 (a±1)" を α で割ったときの余り 21 (20+1), 19 (20-1) などのように, 整数a に対して (a +1) または (a-1)の 形で表される整数をn乗した整数 (a±1)" を α (0 ≦k≦n) で割ったときの余りは, 二項定理を用いて求めることができる。 (a+1)" = (1+a)" = nCo·1+nC₁ a¹ +nC₂·a²+ + ₂C₁ •a* + ··· +nCn • an (a-1)" = (−1+α)"="Co.(-1)"+C (-1)"-1α'+n C2(-1)" -2.² + ... 自然数nを用いて 11100=1+100C110'+100n と表すことができる。 +nCk(-1) "-kaw+..+nCma" 上の等式について,自の部分が α で割り切れることを利用すると (a±1)" 余り+α* で割り切れる部分) となるので、余り が求まる。 (1) 11" の百の位、十の位, 一の位の数を求めよ。 (2)311900で割ったときの余りを求めよ。 →p.37 問題8 27 1 1 多項式分数式の計算