(2)の解説をお願いします！

, B, C を、 す。) 共通部分 は和集合 なので、 B ■点に注意する。 補集合 ので, (A∩C) っている. 例題145 集合の表し方 (3) OM ** (1) 20 以下の自然数の集合を全体集合ひとして,次のUの部分集合 A, B, C, D の包含関係をいえ. KRA £x 2 全体集合をU={n|nは自然数 1≦x≦6},Uの部分集合を A={a, a-3},B={2, a+2,9-2α} とする. A∩B=Ø, AD2 のとき, αの値を定め, A を求めよ。 考え方 (1) x EP となるxが必ずx∈Qのとき,PCQ となり, PCQ かつ QCP のとき,P=Q となる. A={n|nは3の倍数}, B={n|nは6の倍数}, C={n|nは3の倍数または2の倍数},sshiitaly (3) D={n|nは3の倍数かつ2の倍数} ( 1集合 解答 (1) A={3,6,9,12, 15, 18},B={6, 12, 18} より, BCA ={|nは2の倍数とすると TWIN) & E={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 卵より、 C=AUEDA 10211 集合D=ANE = {6,12,18}=B よって, B=DCACC まずは,それぞれの集合を要素を書き並べて表す. (2) 与えられた条件に注目する. Focus A∩B=Ø とは, AとBの中に同じ要素があるということ. さらに, AD2 より, その要素は2ではないことがわかる. (2) U={1,2,3,4,5,6} である。 &A={a, a-3}, B={2, a+2, 9-2a} , A∩B={9-2a} a-3<a<a+2, A2 Y. (i) a=9-2a のとき ABI α=3 となり,このとき, 1- dax▶a-3=0 (ii) a-3=9-2α のとき が成り立つa=4 となり, A = {4, 1},B={2, 6,1} は、ともにびの部分集合で, A∩B={1} よって, a=4,A={2,3,5,6} ●x -A- -B、 AUE A- P. ・Q E A={0,3} となるが, UD0 より不適. 素となる。 つまり, a=a+2, α-3キα+2 であり、 2がAの要素でないの で, 9-2α が共通の要 253 Uの要素は1から6ま での自然数 集合の記号 ∈, C, n, u, , Ø, Uは使って覚えよう 第4章 全体集合の中に入って いるか注意する. A∩B キØ の確認 1142 A B (1) (2 14 1

なんで右辺の最高次の項が2x^nになるのか分かりません！！

364 第6章 微分法 Think 例題 186 関数の決定 の多項式f(x)の最高次の項の係数は1で, (x-1)f'(x)=2f(x) +81 (S-PR (0)\(\\\ がつねに成り立つ。 このとき f(x) を求めよ. (南山大) [考え方 まず、f(x) の最高次の項のみを考える. また、「つねに成り立つ」とは 「恒等式」ということである。 mimi 解答 f(x) は定数関数にならないから, 最高次の項をx" (nは n-1 自然数)とおくと、 f'(x) の最高次の項は, 1 したがって, 与式の左辺の最高次の項は, 右辺の最高次の項は、 2x" 与式は恒等式であるから, ①,②より, nx"=2x" も恒等 式となる. よって, n=2 STARS これより, f(x)は2次式なので, f(x)=x2+ax+b とお くと,f'(x)=2x+a 与式に代入すると (x-1)(2x+a)=2(x2+ax+b) +8 (a+2)x+(a +2b+8)=0 ③がxについての恒等式であるから、 =a+2=0, a +2b +8=0 (公簿) したがって Focus ( RSD a=-2,b=-3 よって, f(x)=x²-2x-3 a=0+0-01-0-8=(0) 88-0+ (S-)-01-(8-)-8=(3- nxn- N nxn ..... 練習 (1) x 多項式f(r) |100 の 3+601-58- +56=0+501- ***** f(x)=a,x"+......+ax+a (a,0)とおくと, f'(x)=na"x"'++αとなる. 定数関数なら (f'(x)=0 より f(x) = -4 となるか これは意に反する 最高次の項の係数に 1 f(x)をn次式と ると,f'(x) は (n-1) 次式 f(x)が次式(n≧1) ⇒f'(x) は (n-1) 次式 f(x) をn次式として, 最高次の項からnの値を決定する ③がつねに成り立っ どんなの値に ついても③が疲 り立つ 注》例題186 において, f(x) が条件を満たす (最高次の項の係数が1の) 定数関数, つまり, f(x)=1のとき, 与式は, (左辺)=(x-1)0=0, (右辺)=2·1+8=10 となり不適よって, f(x) は条件を満たす定数関数にならない. f(x) は定数関数ではないので、 係数比較は必要十分 性をもつ. JCB) (WY WEST また、例題 186 では 「最高次の項の係数は1」 とあるので「x"」 とおいたが、係数がわ Loor からないときは上のように 「a,x"」 とおくとよい. 例

ガウス記号について理解が浅いのですが、写真の赤線の所はなぜマイナスがでてくるんですか？

500 第8章 整数の性質 *** 例題274 ガウス記号 (1)正の実数xを小数で表したとき,次の値をガウス記号を用いて表せ。 (ア) 小数点以下を切り上げた数(イ) 小数第1位を四捨五入した数 (2) [x+y]-[x] - [y] のとり得る値を求め 2つの実数x,yに対して, よ. 考え方 (1) (ア)は, たとえば, 小数点以下を切り上げると2になる数は, 1.1, 1.8, 2 などが当て はまり,1は当てはまらないことから、1<x≦2 を満たす x である. これを一般 の整数nについて考え,ガウス記号の定義を利用する。(イ)も同様。[] 解答(n-1<x≦n (nは整数)のとき,正の実数xの 小数部分を切り上げた数はnとなる. このとき, -n≦x<-n+1 [-x]=-n Focus (OFF(X)= よって, n=-[-x] より,求める数は, 601 -[-x] 830-1 1 (1) n-1/2/2x<n+1/12 (nは整数)のとき,正の実数 (イ) 71. -xの小数第1位を四捨五入した数はnとなる. このとき、n≦x+ +1/12/<n+1より、 =n よって求める数は1/2 Spot =(1-)!! (2) 0≦x<1,0≦β<1 とすると, x=[x]+α, y=[y]+β と表せるので __ x+y=[x]+[y]+a+ß (0≤a+B<2) (i) 0≦a+β<1のとき [x+y]=[x]+[y] (ii) 1≦a+β<2のとき -1 [x+y]=[x]+[y]+1 よって, (i), (i)より, $30 1- [x+y]-[x]-[y]=0, 1 -*=1 ガウス記号の定義を 利用できるように不 等式を整理する. caf10000 Ft ガウス記号については,まず具体的な数で実験する

フォーカスゴールドの問題なのですが、問題文の意味から分かりません。解説をお願いしたいです、、。

は、 保 Check 例題 243 互いに素な自然数の個数 力を自然数とする。(m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数 *** をf(n)とするとき,次の問いに答えよ. (1) f(15) を求めよ. (2) f(pg) を求めよ.ただし, b, q は異なる素数とする. (3) f(p) を求めよ。ただし、pは素数,kは自然数とする。(名古屋大・改) 考え方 (1) 15 であるから, f(15) は, 15以下の自然数で15と互いに素,つまり,3の倍 ま数でも5の倍数でもない自然数の個数を表す. (2) は異なる素数であるから、 と互いに素である自然数は,かの倍数でもgの 倍数でもない自然数である. 互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 よって (3) 解答 (1) 15=3.5 であるから, 15と互いに素でない自然数, すなわち, 3の倍数または5の倍数であり, 15以下の より、自然数は, 3, 6, 9, 12,15, 5, 10 の7個である. よって, 15 と互いに素な自然数の個数は、 150 f(15)=15-7=8 その他の 練習 1 約数と倍数 Focus 13 NE-A 実は (2) p, gは異なる素数であるから, pg と互いに素でな い自然数, すなわち, pの倍数またはαの倍数であり、 pg 以下の自然数は, pq+10+1 Dの倍数 1p,2p,.... (g-1) p, pg ⑨個 ⑨の倍数 1・g, 2g, ..., (p-1)q, pq p の1個 pg の倍数 pg より, (q+p-1) 1 0103 よって, pg と互いに素な自然数の個数は, bb. f(pq) = pq-(g+p-1)-DALS)-(6-8-S (8) = pg-p-g+1=(p-1)(g-1) (3) p, 自然数であるから、が以下の自然数はがきが 個ある. この結果は素数であるから,以下の自然数での倍数 カー1(個) 「互いに素である」の 否定 「互いに素でな 「い」を考える. このf(n) をオイラー 関数という. (p.432 Column 参照) (1)を一般的に考える. p=3,g=5としてみ ると見通しがよくなる. pq÷p=q (1) pg÷g=p(個) は全部で, したがって f(p") = pk-pk-1 ES AICI IT TO .80 (85)5√3 ST=N 、電 互いに素である自然数の個数は、補集合の考えを利用せよ SON YASSKOR LUSHAJAJ 例題243のf(n) について次の問いに答えよ.ただし, p q は異なる素数 ( ^^)とする 431 第8章

willとwouldのそれぞれの意味の見分け方を教えてください🙏

B will/ would 参 Focus 061,062,063 旅応 4. I do my homework after dinner. 私は夕食後に宿題をするつもりです。 5. My little sister won't eat vegetables. 私の妹はどうしても野菜を食べようとしない。 6. The door wouldn't open. そのドアはどうしても開かなかった。 7. They will be on the island by now. 彼らは今ごろその島に着いているだろう。 8. She would be in bed by now. 彼女はおそらく今ごろ寝ているだろう。 9. Babies will cry. 赤ちゃんは泣くものだ。 10. We would often go to the movies. 私たちはよく映画を見に行ったものだ。

⑶で最後のｐの倍数の個数を求める式がよくわかりません。

例題260 互いに素な自然数の個数 を自然数とする.m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数 をf(n) とするとき、 次の問いに答えよ. (1) f (15) を求めよ. (2) f (pg) を求めよ.ただし, p, g は異なる素数とする. (3) f(p) を求めよ.ただし、pは素数, kは自然数とする. (名古屋大・改) 考え方 (1) 「m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数をf(n) とする」とはどう いうことかを(1) の f (15) をもとにして考えてみる. f(15) はn=15 の場合であるから, ☆「m≦15 でmと15が互いに素である自然数mの個数は (15) となる。 つまり, (1)を言い換えると次のようになる. 合 (1) 15=3.5 であるから, 15と互いに素でない自然数, すなわち, 3の倍数または5の倍数であり, 15以下の 自然数は, 3,6,9,12, 15,510の7個である. よって, 15 と互いに素な自然数の個数は, f(15)=15-7=8 もつやっ魂 (2) gは異なる素数であるから、 pg と互いに素でな い自然数, すなわち, pの倍数またはgの倍数であり, 以下の自然数は, ①の倍数 10 2.⑩..... (q-1)0, HTA 教えた 「15 以下の自然数で15と互いに素である自然数はいくつあるか｣ (2)(1)では,15=3･5 であった.(2)ではggは互いに素より(1)と同様にして 考えてみる. 個 ⑨の倍数 1⑨ 2.⑦ .…... (p-1) @カ@のか個 が互いに 3Mの数) ⑩9の倍数 1 SCAND り (q+p-1) 1 よって, bg と互いに素な自然数の個数は 1.2.3.....pa f(pq)=pa(g+p-1) Focus の 個 P9以下の自然数の **** = pg-p-g+1=(-1)(g-1) (3) p, kは自然数であるから, が以下の自然数は CHA (1.2.3.....PR) 個ある. pは素数であるから,以下の自然数の倍数 は全部で, pp=1個) 123 したがって, f(p")=pk-pk-1 練習 260 (g)とする. *** 「互いに素である」の 否定 「互いに素でな い」 を考える. 5 (1) を一般的に考える. p=3,g=5 としてみ ると見通しがよくなる. pg÷p=g(個) pg÷g=p(個) (1) f(77) を求めよ. (2) f (pg) = 24 となる p, g の組をすべて求め上 pg 以下の自然数 の倍数 STY 互いに素である自然数の個数は、補集合の考えを利用せよ ☆互いに素でない(1以外に共通の縞ある)もの数える 9の倍数 P9の倍数 (p.185 例題 94 参照) f(n) をオイラー関数 という. (p.538 Column 参照) ががが(-1) 例題260 の f (n) について次の問いに答えよ. ただし, p, g は異なる素数 改) 12 女 (c た C

この問題文から図をイメージすることができません。わかりやすく解説して欲しいです🙏

-2 横羽 Think 例題 245 体積(2) **** 底面の半径 a, 高さ 2a の直円柱がある。底面の1つの直径を含み,底 面と 45°の傾きをなす平面 α でこの直円柱を2つの部分に分けるとき,底 面と平面α とにはさまれた部分の体積を求めよ. 解答 考え方 この立体は回転体ではないから, x 軸を決め、 これに垂直な切断面の面積S(x) を求め, 積分する. 底面の切り口の直径をx軸とし, 円の中心を原点とする = x軸上の座標xの点において、 x軸に垂直な平面で求める立体 を切断すると,この切り口は、 直角をはさむ辺が, S を求め √a²-x² の直角二等辺三角形である. その面積S(x) は, | Focus 2 S(x)=(√²-x) = (a²-x²) よって, 求める体積Vは, a 1613HTOHET #912 45% √a²-x² まれた図 45° a ax 2) 80 1x1²7 注》x軸のとり方は、右の図の(1)(2)(1 ようにすることもできるが,どちら の場合も、切り口が相似な形でない から, S(x) が積分しやすい関数に はならない. (1) は, S(x)=2x√²xとなり、 これは数学ⅢIで学習する内容である. a 2 面積 463 Ax 3つの部分に分 v=f_s(x)dx="S" (a-x)dxが夢しいとき(-a)の S²(a²-x²) dx = [a²x - 3² x ²] = (S(x) 0 x x軸のとり方に注意 (下の注〉を参照) ま 三平方の定理を利用 (04 desem 偶関数の定積分 ²x+$²²₂(a²-x²)dx <とする。=2f'(ax)dx ECで掴まれた図形の面 CTICE 軸の決め方は切断面の面積S(x) が積分しやすい関数になるよ つまり、切断面が相似形になるように決める St 2) (大) XA x 4.7. tit x=曲 (I) 18*** whack is. S(x) 10 第 7 章

急ぎです！ なぜ青の四角でかこった式になるのか教えてください！

562 第9章 整数・数 Think 例題269 不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ。 1 考え方 例題268のように特殊解を求めたいが, CE 方程式の整数解(3) Focus 係数が大きいため実際に値を代入して求めるのは困難である. 57 × (整数)+13×(整数) = 1 の式を作るために, ユークリッドの互除法を用いる。 pe TERY 解答 方程式 57x+13y=1 ...... ① の係数 57 と 13 について ユークリッドの互除法を用いる. 57=13×4+5 より, 13=5×2+3 より, 5=3×1+2 より, 3=2×1+1 より, ⑤ に ④ を代入して, m 3-(5-3×1)×1=1 3 ×2-5×1=1 これに3③ を代入して, ( 57-13×4=5 13-5×2=3 5-3×1=2 ...... ④ したがって, ①-⑥ より, ST ( 13-5×2)×2-5×1=1 mmm 13×2-5 ×5=1 これに② を代入して, 3-2×1=1….....⑤ 13 ×2-(57-13×4)×5=1 ax ...... 57 × (−5)+ 13×22=1 ARPETUSS 57(x +5)+13(y-22)=0 ·② ・③ HAI y=-57k+22 at S+AT=N ENSJAASEEBR 6 x+5=13k, すなわち, x=13k-5 これを⑦に代入すると, 57×13k=13(22-y) 57k=22-y より, よって, 求める一般解は, x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 57(x+5)=13(22-y) ......7v 57 13 は互いに素であるから.x+5は13の倍数となる. したがって, kを整数として 5-3×1 I 1-7 | 13–5x 3 X2- |x= ① の (特殊

⑹で図形の対象性より外接球と内接球の中心が一致すると書いてありますが、 図形の対象性とはどういうことですか？

262 第4章 図形と計量 Think 例題 137 Sing= 正四面体の種々の量 ∠OMA=0 とする.また,頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足を 1辺の長さがα の正四面体OABC で, 辺BCの中点をMとして、 Hとする. 次の値を求めよ. (1) cose (3) △ABCの面積S (5) 正四面体の内接球の半径r [考え方] OH OM 0 1002000010 B A 正四面体の内接球の半径 001 内接球の中心をIとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ ania. の三角錐に分割したとき,それぞれの角錐の高さが内接球の半 径になる. CODE FOT つまり、内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半 径を求めたアイデアと同様に、分割してみる. 正四面体の外接球の半径 外接球とは 4点 0, A,B,Cを通る球で, 対称性を考えれば, 内接球の中心と外接球の中心は一致する . 外接球の半径は OIになることを利用する. 解答 ∠OMA を含む △OAM に着目すると, on Jend A √√3 OM=AM=- 2 3507-03 また, 対称性より, 点Hは△ABC の重心である。 cos A= a 0 (2) sin0=√1-cos20 3 △OMH において OH = OMsin O √3 2 正四面体は左の図のように回転させても同じような立 体の状況になる. このように図形や立体が対称性をもつ場合,その性質 B を利用して考えるとよい。 (1) 点Hは線分 AM を 2:1に内分 する. ここで,(2) OHの長さを A H 求めるから, 辺 OH を含む △OMH B において, >(2) OH の長さ (4) 正四面体の体積V (6) 正四面体の外接球の半径R -ax THOSEBEN HM _1 OM AM == 3 2√2 3 2√2-√6 3 =- a 0-0000-001 802+024x 8\084-04-2A 0 0 H 1 /3 2 €OC LOCA +06) M AM M **** C -a=AM A B a 160° 20 B M 重心については p.426 参照 sin'0+cos'0=1 を |利用 A BET

なぜ最後不等号が逆になるのですか

240 第4章 図形と計量 注> Focus 例題 123 解答 [考え方] (1) 正弦定理 △ABC において, (1) cos A, cos B (2) A,B,Cのうち, 2番目に大きい角は30°より大きいこ る a sin A sin B a: 6:c=sin A sin B: sin C となることを利用する. 2番目に大きい角は、2番目に長い辺の対角である。(担と角の大小 (2) (1) 正弦定理 cos C=- cos B=- 正弦と余弦の融合 8 13 sin A sin B cos C を求めよ. cos B= だから, 6 C sin B sin C a:b:c=sin A: sin B: sin C 条件より, sin A:sin B:sinC=13:8:7 したがって, a sin A よって, C sin C となり, α=13k,b=8k,c=7k(k>0) とおける. よって, 余弦定理より, cos A = 7 sin C 正弦定理 -=2R より. a b sin A sin B これより, a:hi が成り立っている。 a:b:c=13:8:7 11 22 cos 30°= 13 26' 22²=484, (13√3)²=507 cos B < cos 30° B>30° より, (2) (1)より,a>b>c であるから、2番目に大きい角は Bである. b²+c²-a² _ (8k)²+(7k)²—(13k)² 2bc 2.8k 7k c²+a²-b²_ (7k)²+(13k)²—(8k)² 2.7k･13k 11 2ca 13 a²+ b² − c² _ (13k)²+(8k)²—(7k)² 23 2ab 2･13k・8k 26 2 √3_13√3 26 bac = a sin A sin B sin C a:b:c=sinA : sin B: sin C 11/123 より、 例題 3辺 (2) 辺と角の方 (p.425 頻 C sin C ==2R より, a=2RsinA, b=2RsinB, c=2Rsian