は、
保
Check
例題
243
互いに素な自然数の個数
力を自然数とする。(m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数
***
をf(n)とするとき,次の問いに答えよ.
(1) f(15) を求めよ.
(2) f(pg) を求めよ.ただし, b, q は異なる素数とする.
(3) f(p) を求めよ。ただし、pは素数,kは自然数とする。(名古屋大・改)
考え方
(1) 15
であるから, f(15) は, 15以下の自然数で15と互いに素,つまり,3の倍
ま数でも5の倍数でもない自然数の個数を表す.
(2)
は異なる素数であるから、 と互いに素である自然数は,かの倍数でもgの
倍数でもない自然数である.
互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。
よって
(3)
解答
(1) 15=3.5 であるから, 15と互いに素でない自然数,
すなわち, 3の倍数または5の倍数であり, 15以下の
より、自然数は, 3, 6, 9, 12,15, 5, 10 の7個である.
よって, 15 と互いに素な自然数の個数は、
150
f(15)=15-7=8
その他の
練習
1 約数と倍数
Focus
13
NE-A
実は
(2) p, gは異なる素数であるから, pg と互いに素でな
い自然数, すなわち, pの倍数またはαの倍数であり、
pg 以下の自然数は,
pq+10+1
Dの倍数 1p,2p,.... (g-1) p, pg ⑨個
⑨の倍数 1・g, 2g, ..., (p-1)q, pq p
の1個
pg の倍数 pg
より,
(q+p-1) 1
0103
よって, pg と互いに素な自然数の個数は,
bb. f(pq) = pq-(g+p-1)-DALS)-(6-8-S (8)
= pg-p-g+1=(p-1)(g-1)
(3) p, 自然数であるから、が以下の自然数はがきが
個ある.
この結果は素数であるから,以下の自然数での倍数
カー1(個)
「互いに素である」の
否定 「互いに素でな
「い」を考える.
このf(n) をオイラー
関数という. (p.432
Column 参照)
(1)を一般的に考える.
p=3,g=5としてみ
ると見通しがよくなる.
pq÷p=q (1)
pg÷g=p(個)
は全部で,
したがって f(p") = pk-pk-1 ES AICI
IT TO .80
(85)5√3 ST=N
、電
互いに素である自然数の個数は、補集合の考えを利用せよ
SON
YASSKOR LUSHAJAJ
例題243のf(n) について次の問いに答えよ.ただし, p q は異なる素数
(
^^)とする
431
第8章
