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数学 高校生

AB=√10、直線の傾きが3であることからAC=1、BC=3になることを、どうすれば求められるのですか? よろしくお願いします🙇

例題 99 直線から切りとる線分の長さ 放物線 y=x"-6x+10 が直線 y=3x+k から切りとる線分の長さが 10 であるとき, 定数kの値を求めよ。 (大阪経済大) 放物線と直線の交点を A(a, a:), B(b1, ba) とすると, 線分 ABの長さが切りとる線分の長さである、 線分 ABは,右の図のようになり, A, Bの座標がわか れば、あとは直線の傾きを利用するとよい。 まずは, 与えられた放物線と直線の交点の座標を求め 考え方」 b2 a2 A トカーa る。 aNo b. 解答 x-6x+10=3x+k とおくと, x°-9x+10-k=0 ……1D 放物線と直線。 式より, yを ①の判別式をDとすると, D>0 る。 D=(-9)?-4(10-k)=41+4k 41 したがって、 41+4k>0 4 また,①を解くと, 9土/4k+41 2 x= 交点のx座 ここで, 放物線と直線の交点を A(a, 3a+k), B(b, 36+k) (αくb) とおき, C(b, 3a+k) とおくと, A, B, Cに 49 36+A-- AC=b-a 9+V4k+41 9-14k+41 314k+41 2 2 3a+k-- ここで, AB=V/10 であり, 直線の傾きが3であることか ら,三角形 ABC は右の図のようになる. したがって, B BCの長さ AB=\10 AC=1 V10 3 とより, AB= 14k+41 =1 より, k=-10 これは②を満たす。 よって, としてた A1C てもよし k=-10 の定理)

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